Produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs en coordonnées est la somme du produit des coordonnées de chaque vecteur en préservant l'ordre des dimensions.

En d'autres termes, le produit scalaire en coordonnées de deux vecteurs est le résultat de la multiplication des coordonnées de la même dimension des vecteurs et de leur addition.

On l'appelle un produit scalaire car le résultat de la multiplication sera toujours un scalaire. Le résultat de cette multiplication sera un nombre qui exprime une grandeur et n'a aucune direction. En d'autres termes, le résultat du produit scalaire sera un nombre et non un vecteur. Par conséquent, nous exprimerons le nombre résultant comme n'importe quel nombre et non comme un vecteur.

Pour exprimer le produit de vecteurs en coordonnées, le système de référence canonique est utilisé.

Dans cet article nous allons voir, en somme, deux manières de calculer le produit scalaire de deux vecteurs. Le premier a été décrit ci-dessus, tandis que le second nous le verrons plus tard.

Formule du produit de deux vecteurs

Soit deux vecteurs :

Le produit scalaire est calculé comme suit :

Le produit scalaire de deux vecteurs est obtenu en multipliant les coordonnées des vecteurs, en gardant toujours les dimensions. En d'autres termes, vous ne pouvez multiplier que les coordonnées d'une même dimension.

Dans le premier exemple, tout va bien car nous multiplions la première coordonnée du vecteur a et du vecteur b. Le deuxième exemple est faux car nous multiplions la première coordonnée du vecteur a et la deuxième coordonnée du vecteur b. La multiplication des coordonnées de différentes dimensions n'est pas correcte.

Formule de produit scalaire pour k vecteurs

Soit k vecteurs de n coordonnées :

Le produit scalaire est calculé comme suit :

Bien que nous ayons de nombreux vecteurs avec de nombreuses dimensions, le produit scalaire fonctionne de la même manière : faire la somme de la multiplication des coordonnées qui sont de même dimension.

Étapes à suivre pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs

1. Identifier les vecteurs que l'on veut multiplier et leurs coordonnées.
2. Multipliez les coordonnées de la même dimension.
3. Additionnez les multiplications précédentes.
4. Vérifiez que le résultat est un nombre unique.

Produit scalaire à définition géométrique

Le produit scalaire de deux vecteurs peut également être exprimé comme le produit des modules des deux vecteurs et le cosinus de l'angle des vecteurs.

Étant donné deux vecteurs, le produit scalaire est calculé comme suit :

Pour approfondir cette autre forme de calcul, nous vous recommandons de consulter l'article suivant :

Voir une autre façon de calculer le produit scalaire de deux vecteurs

Exemple de produit scalaire

Calculer le produit scalaire des vecteurs suivants :

Le résultat d'un produit scalaire sera toujours un scalaire, c'est-à-dire un nombre. Le résultat de notre exemple correspond à la théorie et est donc correct.