Le tétraèdre est un polyèdre à quatre faces, six arêtes et quatre sommets. C'est une figure tridimensionnelle formée de plusieurs polygones qui, dans ce cas, sont des triangles.
Le tétraèdre se caractérise par être le plus simple des polyèdres, et le seul qui a moins de cinq côtés.
Il est à noter qu'un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire.
Éléments d'un tétraèdre
Les éléments d'un tétraèdre, nous guidant à partir de la figure ci-dessous, sont :
- Visages: Ce sont les côtés du tétraèdre qui, comme nous l'avons mentionné, sont des triangles (ABC, ADC, ADB et BDC.
- Bords: C'est l'union de deux faces : AB, AC, AD, BC, CD et DB.
- Sommets : Ce sont les points où les bords se rencontrent : A, B, C et D.
- Angle de dièdre : Il est formé par l'union de deux faces.
- Angle du polyèdre : C'est celui qui est constitué par les côtés qui coïncident en un seul sommet.
Aire et volume du tétraèdre
Pour connaître les caractéristiques du tétraèdre on peut calculer :
- Surface: Il faudrait ajouter l'aire des quatre triangles qui composent le polyèdre. En ce sens, il faut se rappeler que l'aire d'un triangle se calcule en multipliant la base par la hauteur et en divisant par 2 (A = bxh / 2)
- Le volume: Il serait calculé avec la formule suivante
Dans la formule, b est n'importe quelle face du polyèdre et h est la hauteur ou le segment qui relie b avec son sommet opposé. De plus, la hauteur est perpendiculaire à la base (elles forment un angle droit ou qui mesure 90º).
Tétraèdre régulier
Lorsque tous les triangles qui composent le tétraèdre sont des triangles équilatéraux identiques les uns aux autres, on se trouve devant un tétraèdre régulier. C'est-à-dire qu'il s'agirait d'un polyèdre régulier dont les faces sont toutes les mêmes et chacune est également un polygone régulier.
À ce stade, nous devons nous rappeler qu'un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et dont les angles intérieurs sont également tous égaux.
Rappelons alors que l'aire (A) d'un triangle équilatéral peut être calculée en utilisant la formule de Heron où a, b et c sont les mesures des côtés et s est le demi-périmètre, qui est le périmètre (P) entre deux.
Alors oui:
P = a + b + c = a + a + a = 3a
Nous devons:
Puis, puisqu'il y a quatre triangles, on multiplie l'aire de chacun par 4 pour trouver l'aire du tétraèdre (AT) :
Par contre, si on veut calculer le volume, il faut trouver la hauteur du polyèdre. Pour ce faire, nous allons nous guider par l'image suivante :
Tout d'abord, nous allons calculer la hauteur (h) de la base (le triangle ABC dans cet exemple), qui est le segment EB. L'angle X mesure 90º, donc le théorème de Pythagore doit être respecté, et l'hypoténuse (BA), qui mesure a (la longueur de toutes les arêtes de ce tétraèdre), est égale à la somme de chaque jambe au carré. L'une des pattes est EA, elle est au milieu du segment AC (E coupe le côté en deux parties égales) et mesure a/2. De plus, la deuxième jambe est la hauteur de la base (h ou EB).
Alors, par propriété du tétraèdre régulier, F étant le centre du triangle, EF sera le tiers du segment EB, c'est-à-dire le tiers de h.
Prochaine étape, pour trouver la hauteur du tétraèdre (DF), on peut à nouveau appliquer le théorème de Pythagore car, comme la hauteur est perpendiculaire, l'angle Y est droit (il mesure 90º).
En regardant le triangle DEF, l'hypoténuse est DE, qui est la hauteur du triangle ADC et, puisque toutes les faces sont égales, c'est la même hauteur h du triangle ABC. À son tour, une jambe est la hauteur du tétraèdre (DF), que nous appellerons ht, et l'autre jambe est le segment EF que nous avons déjà calculé. Donc:
Enfin, pour trouver le volume du tétraèdre (V), comme nous l'avons expliqué précédemment, on multiplie la hauteur de la figure (ht) par l'aire de la base (A) qui est calculée ci-dessus, et on la divise par trois :
exemple de tétraèdre
En supposant qu'un tétraèdre est régulier et que chaque côté de ses faces mesure 20 mètres. Quelle est l'aire (AT) et le volume (V) de la figure ?
