Module d'un vecteur et théorème de Pythagore

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Le module d'un vecteur est la longueur d'un segment orienté dans un espace déterminé par deux points et leur ordre.

En d'autres termes, le module d'un vecteur est la longueur entre le début et la fin du vecteur, c'est-à-dire où la flèche commence et où elle se termine.

Étant donné un vecteur à deux dimensions :

L'information que nous donnent les coordonnées du vecteur, c'est-à-dire vx et vy, est sa longueur pour l'axe x et sa longueur pour l'axe y, respectivement.

Donc, si nous connaissons les coordonnées, nous pouvons calculer le module du vecteur.

Module d'un vecteur et théorème de Pythagore

Le dessin précédent ne vous rappelle-t-il pas une figure géométrique ?

Justement, on peut imaginer que les axes de coordonnées à côté du vecteur forment un rectangle de base vx et de hauteur vy. On peut diviser ce rectangle en deux triangles symétriques, c'est-à-dire qu'ils auront tous les deux la même base et la même hauteur.

Le triangle bleu a une base de vx et une hauteur de vy. Ainsi, connaissant cette information, nous pouvons connaître son hypoténuse. Il existe un théorème très célèbre connu sous le nom de théorème de Pythagore qui est utilisé pour ces calculs.

Manifestation

On sait que la formule de Pythagore est la suivante :

Où h est l'hypoténuse, c est une jambe et c est une autre jambe.

Dans notre cas, nous savons combien valent nos jambes, c'est-à-dire la base et la hauteur. Nous pouvons donc intégrer ces informations dans l'équation :

On procède à la suppression du carré de h en appliquant la racine carrée :

Si on dit que vx = 3 et vy = 6 :

Par conséquent, si v était un vecteur de coordonnées (3, 6), alors nous saurions que son module est de 6,7082. Exactement, son module, car la formule du module de tout vecteur v est :

On voit que précisément l'information qui nous manque dans l'équation coïncide avec l'hypoténuse. En d'autres termes, la longueur du vecteur est ce que nous voulons calculer et l'hypoténuse est la diagonale du triangle. Par conséquent, nous pouvons conclure que l'utilisation du théorème de Pythagore pour calculer le module du vecteur est une méthode valide.

Donc, si nous devons calculer le module d'un vecteur et que nous ne nous souvenons pas de la formule, nous pouvons penser au théorème de Pythagore et résoudre le problème.