Le produit scalaire de deux vecteurs selon sa définition géométrique est la multiplication de leurs modules par le cosinus de l'angle formé par les deux vecteurs.
En d'autres termes, le produit scalaire de deux vecteurs est de faire le produit des modules des deux vecteurs et le cosinus de l'angle.
Formule de produit scalaire
Étant donné deux vecteurs, le produit scalaire est calculé comme suit :
On l'appelle un produit scalaire car le résultat du module sera toujours un scalaire, de la même manière que le sera aussi le cosinus d'un angle. Le résultat de cette multiplication sera un nombre qui exprime une grandeur et n'a aucune direction. En d'autres termes, le résultat du produit scalaire sera un nombre et non un vecteur. Par conséquent, nous exprimerons le nombre résultant comme n'importe quel nombre et non comme un vecteur.
Pour connaître l'amplitude de chaque vecteur, le module est calculé. Donc, si nous multiplions la magnitude de l'un des vecteurs (v) par la magnitude de l'autre vecteur (a) par le cosinus de l'angle que les deux forment, nous saurons combien les deux vecteurs mesurent au total.
Le module du vecteur (v) multiplié par le cosinus de l'angle est également appelé projection du vecteur v sur le vecteur a.
Voir une autre façon de calculer le produit scalaire de deux vecteurs
Traiter
- Calculer les modules des vecteurs.
Étant donné un vecteur à trois dimensions,
La formule pour calculer le module d'un vecteur est :
Chaque indice du vecteur indique les dimensions, dans ce cas, le vecteur (a) est un vecteur tridimensionnel car il a trois coordonnées.
2. Calculez le cosinus de l'angle.
Exemple du produit scalaire de deux vecteurs
Calculez le produit scalaire des vecteurs tridimensionnels suivants en sachant que l'angle qu'ils forment est de 45 degrés.
Pour calculer le produit scalaire il faut d'abord calculer le module des vecteurs :
Une fois que l'on a calculé les modules des deux vecteurs et que l'on connaît l'angle, il suffit de les multiplier :
Par conséquent, le produit scalaire des vecteurs précédents est de 1,7320 unités.
Graphique
Les vecteurs suivants ressembleraient à un graphique en trois dimensions :
Pour le vecteur (c), nous pouvons voir que la composante z est nulle, par conséquent, elle sera parallèle à l'axe des abscisses. Au lieu de cela, la composante z du vecteur (b) est positive, nous pouvons donc voir comment elle s'incline vers le haut. Les deux vecteurs sont dans le quadrant des positifs en termes de composante, puisqu'il est positif et identique.
