Deux vecteurs linéairement dépendants sont deux vecteurs qui ne peuvent pas se combiner linéairement et ne peuvent donc pas former une base dans le plan.
En d'autres termes, deux vecteurs sont linéairement dépendants quand on ne peut pas les écrire comme une combinaison linéaire et donc ils ne pourront pas former une base. La combinaison linéaire de vecteurs crée une équation dans laquelle apparaissent deux vecteurs et deux nombres réels.
Formule
Étant donné les vecteurs suivants et tous les nombres réels :
Vous pouvez créer une combinaison linéaire des deux en entrant deux nombres réels. Où lambda Oui mu ce sont des nombres réels qui indiquent le poids de chaque vecteur.
La combinaison linéaire serait donc :
Cette combinaison linéaire peut être exprimée comme un autre vecteur, par exemple, w:
Ainsi, avec l'expression précédente, nous disons que le vecteur w est une combinaison linéaire de vecteurs à Oui v.
Lorsque nous trouvons des combinaisons linéaires de vecteurs et qu'aucun nombre n'apparaît devant les vecteurs, c'est-à-dire les paramètres lambda Oui mu, cela signifie qu'ils sont 1.
Donc, si deux vecteurs sont linéairement dépendants, cela signifie que nous ne pouvons pas les exprimer comme une combinaison linéaire d'eux-mêmes :
En géométrie analytique, il est également appelé deux vecteurs proportionnels.
Représentation
A quoi ressemblent deux vecteurs linéairement dépendants ?
Premièrement, nous représentons les vecteurs séparément et deuxièmement, nous représentons les vecteurs dans le même plan :
Exemple de parallélépipède
Nous supposons que nous avons trois vecteurs et nous voulons les exprimer comme une combinaison linéaire. On sait aussi que chaque vecteur provient du même sommet et constitue l'abscisse de ce sommet. La figure géométrique est un parallélépipède.
Puisqu'ils nous informent que la figure géométrique formée par ces vecteurs est l'abscisse d'un parallélépipède, alors, les vecteurs délimitent les faces de la figure :
Trois vecteurs :
Comment savoir si les vecteurs sont linéairement dépendants s'ils ne nous renseignent pas sur leurs coordonnées ?
Eh bien, en utilisant la logique. Si les vecteurs étaient linéairement dépendants, alors toutes les faces du parallélépipède s'effondreraient. En d'autres termes, ils seraient les mêmes.
Par conséquent, les vecteurs précédents ne seraient pas linéairement dépendants car ils ne pourraient pas former un parallélépipède.