Le problème de Monty Hall est un problème probabiliste inspiré de l'émission de télévision américaine Let's Make a Deal.
Le nom est inspiré de la personne qui a présenté le programme : Monty Hall.
Ce programme a été diffusé entre 1963 et 1986.
Énoncé du problème de Monty Hall
Dans le problème de Monty Hall, un participant se voit présenter trois portes avec la possibilité d'en choisir une. Étant donné votre choix, vous pourriez gagner le prix caché derrière la porte. Par conséquent, derrière chaque porte il y a une récompense, dans une porte il y a un véhicule et dans les deux autres il y a une chèvre.
Une fois que le participant a choisi la porte, le modérateur ou le présentateur ouvre l'une des deux autres portes restantes. Puisque le modérateur sait ce qu'il y a derrière chaque porte, il en ouvre une qui cache une chèvre et la montre au participant.
Par la suite, deux possibilités s'offrent à vous : 1) conserver la porte de votre choix ou 2) modifier votre choix initial.
Enfin, la question se pose, vaut-il mieux pour le participant de modifier ou de maintenir son choix ?
Solution au problème de Monty Hall
La solution la plus simple au problème de Monty Hall est intuitive. La probabilité de choisir la porte avec le véhicule comme prix est de 1 sur 3 (⅓). Pendant ce temps, les chances de perdre sont .
Autrement dit, si vous conservez votre choix initial, vous conservez ⅓ de probabilité de succès. En revanche, si vous modifiez votre choix, la probabilité de gagner le véhicule passe à ⅔.
Ainsi, le problème de Monty Hall montre que le participant doit modifier son choix pour maximiser ses chances de choisir la voiture.
Cette situation peut être vue dans l'arborescence suivante. La probabilité totale est trouvée en multipliant la probabilité de chaque segment. De même, à la fin les probabilités de frapper ou de ne pas frapper en changeant de porte sont ajoutées. Par exemple, lorsque le lot est à la porte 1 et qu'on en choisit un autre (2 ou 3), dans les deux cas il est gagné en changeant l'option. Par conséquent, se tromper la première fois (ce qui est l'option la plus probable) augmente vos chances de gagner en modifiant votre choix. En attendant, si vous choisissez de conserver votre option initiale, les chances de gagner sont les mêmes qu'au début : ⅓.
Il existe également des méthodes mathématiques et statistiques plus raffinées qui montrent que ce résultat est valable. Il en est ainsi, même lorsque l'expérience est répliquée en augmentant le nombre de portes.
Pourquoi pouvons-nous penser que garder la première option est la bonne réponse ?
Certaines des raisons pour lesquelles certaines personnes ne choisissent pas la meilleure solution sont :
- Ils évitent que les événements ne soient pas indépendants: Cela se produit en raison d'un échec dans l'interprétation de l'approche. Dans ce cas, il est ignoré que l'action du modérateur pour ouvrir une porte dépend du choix initial du participant.
- Mauvaise répartition des probabilités: L'action du modérateur modifie les cotes initiales. Une fois la porte ouverte, cette porte a 0 chance de contenir le véhicule. Par conséquent, le participant a maintenant 50% de chance de choisir la voiture ou la chèvre sur les portes restantes.
