Paradoxe de Saint-Pétersbourg - Qu'est-ce que c'est, définition et concept

Le paradoxe de Saint-Pétersbourg est un paradoxe observé par Nicolas Bernoulli et qui a sa raison d'être dans le jeu. Ce paradoxe nous dit qu'en théorie de la décision, tous les paris sont admis, quelle que soit leur valeur, même si cette valeur nous montre qu'il ne s'agit pas d'une décision rationnelle.

Le paradoxe de Saint-Pétersbourg, pour que nous puissions le comprendre correctement, était un paradoxe décrit par Nicolaus Bernoulli, après avoir observé le jeu, c'est pourquoi ce paradoxe existe.

Théorie des jeux

En ce sens, le paradoxe nous dit que la théorie des décisions formulées nous montre que la décision rationnelle, dans un jeu de pari, est tout, quel que soit le montant que suppose chaque pari. Cependant, en analysant correctement cette situation, et en observant précisément la théorie, nous observons qu'aucun être rationnel ne choisirait de prendre la décision de miser une somme d'argent proche de l'infini, bien que la théorie indique qu'elle est rationnelle. Pour cette raison, le paradoxe surgit.

Initialement, le paradoxe est observé par Nicolas Bernoulli, tel qu'il apparaît dans une lettre envoyée par lui à Pierre de Montmort, aristocrate et mathématicien français, le 9 septembre 1713.

Cependant, comme l'étude de Nicolas n'a pas obtenu de résultats, il a présenté le paradoxe à son cousin Daniel Bernoulli en 1715, un mathématicien d'origine néerlandaise et recteur de l'Université de Bâle, qui, se réunissant à Saint-Pétersbourg avec un groupe éminent de scientifiques, et après années de recherche, a publié en 1738 un nouveau système de mesure dans son ouvrage "Exposition d'une nouvelle théorie dans la mesure du risque".

Le modèle proposé par Daniel, contrairement à celui proposé par Nicolas, jette les bases de ce qui affinera et complétera plus tard la théorie de l'utilité espérée.

Formule du paradoxe de Saint-Pétersbourg

La formulation proposée par Nicolas Bernoulli à son cousin et Pierre de Montmort est la suivante :

Imaginons un jeu d'argent, auquel le joueur, évidemment, doit payer une somme pour participer.

Supposons que le joueur parie sur pile et lance la pièce successivement jusqu'à pile. Après pile, le jeu est arrêté et le joueur obtient 2$^n.

Ainsi, si c'est pile, le joueur gagne d'abord 2^1, soit 2$. Mais si c'est à nouveau pile, il obtiendra 2 2, soit 4 $, et ainsi de suite. S'il ressort, ce sera 8 dollars, ce qui équivaut à 2^3; tandis que, s'il sort une quatrième fois, le prix sera de 16 dollars, étant la représentation 2 4.

Ainsi, la question de Nicolas était la suivante : Compte tenu de la séquence mentionnée ci-dessus et du profit, combien le joueur serait-il prêt à payer pour ce jeu sans perdre en rationalité ?

Exemple du paradoxe de Saint-Pétersbourg

Considérant la formulation proposée par Nicolas, et le doute qu'il a posé au mathématicien français et à son cousin, voyons la raison de ce paradoxe, à titre d'exemple, pour comprendre ce que nous voulons dire.

Tout d'abord, nous devons savoir qu'avant le début du jeu, nous avons un nombre infini de résultats possibles. Eh bien, même si la probabilité est de 1/2, les queues peuvent ne pas sortir avant le 8ème lancer.

Par conséquent, la probabilité que cette croix apparaisse au lancer k est :

Pk = 1 / 2k

En outre, le bénéfice est de 2k.

Poursuivant le développement, les premières queues sur le 1er rouleau présentent un gain de 2¹ (2 $) et une probabilité de 1/2. Les queues à la 2e tentative ont un gain de 2² (4 dollars) et une probabilité de 1/2²; alors que, si pile sur la troisième tentative, le joueur a une victoire de 2³ (8 $) et une probabilité de 1/2³. Comme on peut le voir, une relation qui s'étend, tant que l'on ajoute s'exécute.

Avant de continuer, il convient de noter qu'en théorie de la décision, nous appelons espérance mathématique (EM), ou gain attendu d'un jeu, la somme des prix, associés à chacun des résultats possibles du jeu, et tous pondérés par le probabilité que chacun de ces résultats se produise.

Si l'on prend en compte l'approche qui montre ce paradoxe, on voit qu'en jouant la probabilité de gagner 2 dollars est de 1/2, mais, en plus, la probabilité de gagner 4 est de 1/4, alors que celle de gagner 8 dollars est 1/8. Ceci, jusqu'à atteindre des situations telles que gagner 64 dollars, la probabilité pour ce cas étant de 1/64.

Ainsi, avec ces résultats, si nous calculons l'espérance mathématique, ou ce que nous appelons le gain attendu du jeu, nous devons additionner les gains de tous les résultats possibles pondérés par la probabilité de leur occurrence, de sorte que le résultat nous montre un nombre infini valeur.

Si nous suivons la théorie du choix, elle nous dit que nous devrions parier n'importe quel montant pour le simple fait que chaque décision nous est favorable. Or, s'il s'agit d'un paradoxe, c'est parce que, rationnellement, un joueur ne pariera pas indéfiniment, même si la théorie le pousse à le faire.

Un paradoxe marquant

Nombreux ont été les mathématiciens qui ont tenté de déchiffrer le paradoxe proposé par Bernoulli, cependant, nombreux sont ceux qui n'ont pas été en mesure de le résoudre.

Ainsi, de nombreux exemples nous montrent comment le paradoxe a tenté d'être résolu par des mathématiciens qui ont abordé à la fois la structure du jeu et les décisions des individus eux-mêmes. Cependant, à ce jour, nous ne pouvons toujours pas trouver de solution valable.

Et c'est que, afin d'avoir une idée de la complexité de ce paradoxe, en tenant compte de la théorie du choix dans cet exemple, nous supposons comme prix possible, après le calcul, un nombre infini de pièces qui, même à supposer que cela soit possible, ce serait incompatible avec le système monétaire lui-même, puisque c'est une monnaie qui, contrairement à ce que dit le paradoxe, est limitée.