Les fractions algébriques sont celles qui peuvent être représentées comme le quotient de deux polynômes, c'est-à-dire comme la division entre deux expressions algébriques contenant des nombres et des lettres.
Il convient de noter que le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique peuvent contenir des additions, des soustractions, des multiplications ou même des puissances.
Un autre point à garder à l'esprit est que le résultat d'une fraction algébrique doit exister, donc le dénominateur doit être différent de zéro.
C'est-à-dire que la condition suivante est remplie, où A (x) et B (x) sont les polynômes qui forment la fraction algébrique :
Quelques exemples de fractions algébriques peuvent être les suivants :
Fractions algébriques équivalentes
Deux fractions algébriques sont équivalentes lorsque ce qui suit est vrai :
Cela signifie que le résultat des deux fractions est le même, et de plus, le produit de la multiplication du numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde est égal au produit du dénominateur de la première fraction par le numérateur de la seconde.
Nous devons tenir compte du fait que pour construire une fraction équivalente à celle que nous avons déjà, nous pouvons multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur par le même nombre ou par la même expression algébrique. Par exemple, si nous avons les fractions suivantes :
On vérifie que les deux fractions sont équivalentes et on peut aussi noter :
Autrement dit, comme nous l'avons mentionné précédemment, lorsque nous multiplions à la fois le numérateur et le dénominateur par la même expression algébrique, nous obtenons une fraction algébrique équivalente.
Types de fractions algébriques
Les fractions peuvent être classées en :
- Simple: Ce sont ceux que nous avons observés tout au long de l'article, où ni le numérateur ni le dénominateur ne contiennent une autre fraction.
- Complexe: Le numérateur et/ou le dénominateur contiennent une autre fraction. Un exemple peut être le suivant :
Une autre façon de classer les fractions algébriques est la suivante :
- Rationnel: Lorsque la variable est élevée à une puissance qui n'est pas une fraction (comme les exemples que nous avons vus tout au long de l'article).
- Irrationnel: Lorsque la variable est élevée à une puissance qui est une fraction, comme c'est le cas suivant :
Dans l'exemple, nous pourrions rationaliser la fraction en remplaçant la variable par une autre qui nous permet de ne pas avoir de fractions comme puissances. Alors oui X1/2= et et nous remplaçons dans l'équation nous aurons ce qui suit :
L'idée est de trouver le plus petit commun multiple des indices des racines, qui, dans ce cas, est 1/2 (1 * 1/2). Donc si on a l'équation irrationnelle suivante :
Il faut d'abord trouver le plus petit commun multiple des indices des racines, qui serait : 2 * 5 = 10. Donc, nous aurons une variable y = x1/10. Si nous remplaçons dans la fraction, nous aurons maintenant une fraction rationnelle :
