La probabilité postérieure est celle qui est calculée sur la base de données déjà connues après un processus ou une expérience.
La probabilité a posteriori est donc celle qui n'est pas estimée sur la base de conjectures ou de connaissances a priori concernant la distribution d'une probabilité, comme dans la probabilité a priori.
Pour mieux le comprendre, regardons un exemple.
Supposons qu'une entreprise développe un nouveau produit de toilette, par exemple un shampooing. Ainsi, la société évalue un groupe de volontaires pour voir si un pourcentage d'entre eux développe des pellicules après avoir utilisé le produit.
Ainsi, par exemple, on obtient que la probabilité postérieure qu'un homme adulte développe des pellicules lors de l'essai de ce nouveau produit est de 2%.
Au lieu de cela, un exemple de probabilité a priori se produit lorsque, avant de lancer un dé, nous supposons qu'il y a la même probabilité que l'un des six nombres sorte, c'est-à-dire 1/6.
Histoire des probabilitésProbabilité a posteriori et théorème de Bayes
Pour résoudre des exercices avec probabilités postérieures, on recourt généralement au théorème de Bayes, dont la formule est la suivante :
Dans la formule ci-dessus, B est l'événement sur lequel nous avons des informations et A (n) sont les divers événements conditionnels. C'est-à-dire que dans le numérateur, nous avons la probabilité conditionnelle, qui est la possibilité qu'un événement B se produise étant donné qu'un autre événement A a eu lieum. Alors que dans le dénominateur, nous observons la somme des événements conditionnés, qui équivaudrait à la probabilité totale d'occurrence de l'événement B, en supposant qu'aucun des événements conditionnés possibles n'est laissé de côté.
Mieux vaut voir, dans la section suivante, un exemple pour qu'il soit mieux compris.
Exemple de probabilité a posteriori
Supposons que nous ayons 4 salles de classe qui ont été évaluées avec le même examen.
Dans le premier groupe ou classe, que nous avons appelé A, 60% des élèves ont réussi l'évaluation, tandis que dans le reste des classes, que nous appellerons B, C et D, le pourcentage de réussite était de 50%, 56% et 64%, respectivement. Ce seraient des probabilités postérieures.
Un autre fait à prendre en compte est que les classes A et B ont 30 élèves, tandis que les classes C et D en ont 25 chacune. Donc, si l'on choisit, parmi les examens des quatre groupes, une évaluation aléatoire et qu'elle s'avère avoir une note de passage, quelle est la probabilité qu'elle appartienne à la classe A ?
Pour son calcul, on appliquera le théorème de Bayes, où Am l'événement conditionnel que l'examen appartient à un élève de la classe A et B le fait que la note soit réussie :
P (Am/ B) = (0,6 * 30/110) / ((0,6) * (30/110) + (0,5) * (30/110) + (0,56) * (25/110) + (0,64) * (25/ 110))
P (Am/ B) = 0,1636 / 0,5727 = 0,2857
Il convient de noter que nous divisons le nombre d'élèves de la classe X par le nombre total d'élèves dans les quatre groupes pour connaître la probabilité que l'élève soit de la classe X.
Le résultat nous indique qu'il y a une probabilité d'environ 28,57 % que, si nous choisissons un examen aléatoire et qu'il a une note de passage, ce sera de la classe A.
