Une matrice inverse est la transformation linéaire d'une matrice en multipliant l'inverse du déterminant de la matrice par la matrice adjointe transposée.
Autrement dit, une matrice inverse est la multiplication de l'inverse du déterminant par la matrice adjointe transposée.
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Étant donné toute matrice X telle que
Formule matricielle inverse d'une matrice d'ordre 2
Alors la matrice inverse de X sera
En utilisant cette formule on obtient la matrice inverse d'une matrice carrée d'ordre 2.
La formule ci-dessus peut également être exprimée par le déterminant de la matrice.
Formule matricielle inverse d'une matrice d'ordre 2
Les deux droites parallèles autour de X au dénominateur indiquent qu'il est le déterminant de la matrice X.
Lorsqu'une matrice carrée a une matrice inverse, on dit que c'est une matrice régulière.
Conditions
Pour trouver la matrice inverse d'une matrice d'ordre n, nous devons répondre aux exigences suivantes :
- La matrice doit être une matrice carrée.
Le nombre de lignes (n) doit être le même que le nombre de colonnes (m). C'est-à-dire que l'ordre de la matrice doit être n étant donné que n = m.
- Le déterminant doit être différent de zéro (0).
Le déterminant de la matrice doit être non nul (0) puisqu'il participe à la formule en tant que dénominateur. Si le dénominateur était un zéro (0), nous aurions une indétermination.
Si le dénominateur (ad - bc) = 0, c'est-à-dire que le déterminant de la matrice X est égal à zéro (0), alors la matrice X n'a pas de matrice inverse.
Propriété
Une matrice carrée X d'ordre n aura une matrice inverse X d'ordre n, X-1, de telle sorte qu'il remplisse que
L'ordre des éléments de la multiplication n'est pas pertinent, c'est-à-dire que la multiplication d'une matrice carrée par sa matrice inverse donnera toujours la matrice identité du même ordre.
Dans ce cas, l'ordre de la matrice X est 2. Ainsi, nous pouvons réécrire la propriété précédente sous la forme :
Exemple pratique
Trouvez la matrice inverse de la matrice V.
Pour résoudre cet exemple, nous pouvons appliquer la formule ou calculer d'abord le déterminant, puis le substituer.
Formule
Formule avec déterminant
Nous calculons d'abord le déterminant de la matrice V, puis le substituons dans la formule.
Ainsi, on obtient que le déterminant de la matrice V est différent de zéro (0) et on peut dire que la matrice V a une matrice inverse.
Nous obtenons le même résultat en utilisant la formule ou en calculant d'abord le déterminant puis en le substituant.
L'ordre de la matrice inverse est le même que l'ordre de la matrice d'origine. Dans ce cas, nous aurons le même nombre de lignes n et de colonnes m dans les matrices V et V-1.
Matrice transposée