La distance entre deux points de dimension R dans l'espace est l'application de la racine carrée au vecteur formé par ces points ordonnés.
En d'autres termes, la distance entre deux points de l'espace est le module du vecteur formé par ces points.
La distance entre deux points n'est rien de plus que le module du vecteur formé par les points donnés. Une fois le module du vecteur calculé, on aura déjà la distance entre les deux points.
Formule
Compte tenu des deux points suivants :
Alors, la distance entre ces deux points sera le module du vecteur qu'ils forment :
Par conséquent, le module de ce vecteur sera la distance entre ces deux points :
La longueur de la racine dépendra du nombre de dimensions des points. S'il ne s'agit que de points à deux dimensions, il n'y aura que deux termes dans la racine. Par contre, si les points ont 6 dimensions, alors il y aura 6 éléments dans la racine.
On dit que les points doivent être ordonnés car dans les vecteurs, comme dans les matrices, l'ordre des facteurs est important et est crucial pour une résolution correcte des problèmes. Un vecteur qui va du point B au point C n'est pas le même qu'un autre vecteur qui va du point C au point B.
Schématiquement :
Ce que les deux vecteurs précédents partagent, c'est la distance : le vecteur BC et le vecteur CB gardent la même distance entre leurs points. En d'autres termes, ils ont le même module.
En effet, la différence des deux vecteurs n'est que le signe de leurs coordonnées. Puisque le module inclut de faire le carré des coordonnées du vecteur, cela produit le même effet que si nous appliquions la valeur absolue. En fait, c'est la raison pour laquelle nous indiquons le module d'un vecteur avec les deux droites parallèles :
Ensuite, la racine est appliquée pour supprimer l'effet du carré des composants et revenir aux mêmes unités.
Distance en géométrie analytique et en réalité
Lorsque nous devons calculer des distances en géométrie analytique, nous pouvons nous aider d'exemples réels. Par exemple, si l'on nous demande de calculer la distance entre deux points, comme dans ce cas, nous pouvons nous imaginer comme point de départ (point B) et un objet comme point d'arrivée (point C). Ainsi, nous pouvons mesurer cette distance en soustrayant en valeur absolue entre un point et l'autre. En d'autres termes plus techniques, calculez le module.
Nous verrons que de notre position à l'objet et de l'objet à nous, il y aura la même distance. De plus, cette distance sera toujours positive, qu'elle soit égale ou supérieure à 0. Il se peut que nous tenions l'objet et, par conséquent, que la distance soit 0, ou que l'objectif soit éloigné, donc une distance positive.
Exemple de distance entre deux points
Calculez la distance entre les points suivants :
