Le théorème de Darmois est un théorème qui permet de trouver une statistique T pour un paramètre avec la propriété de suffisant.
En termes encore plus simples, il permet de trouver l'expression mathématique, le cas échéant, d'une statistique suffisante.
En ce qui concerne le critère de factorisation de Fisher-Neyman, nous pouvons faire une réflexion. Le critère de factorisation de Fisher-Neyman sert à la fois à vérifier si une statistique remplit la propriété de suffisant et à trouver l'expression mathématique d'une statistique suffisante (si elle existe). En revanche, le théorème de Darmois ne permet de trouver que l'expression mathématique (si elle existe) d'une statistique suffisante.
Disons que si le critère de factorisation de Fisher-Neyman avance (recherche) et recule (vérification), le théorème de Darmois ne fait qu'avancer (recherche).
Formule du théorème de Darmois
Théoriquement, il est exprimé, étant donné un échantillon aléatoire simple d'une variable aléatoire X de fonction de densité f (x; θ) avec θ ∈ Ω. Si cette fonction appartient à la famille exponentielle, c'est-à-dire qu'elle peut être exprimée telle que :
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Alors la statistique T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
Pour faciliter les calculs, une notation logarithmique est généralement effectuée :
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Bien sûr, il est difficile de comprendre toute cette notation mathématique. De nombreuses inconnues apparaissent, de nombreuses lettres, de nombreux opérateurs. Redéfinissons-le avec des mots familiers. Pour cela, nous partirons de la définition théorique appliquée à un exemple :
Supposons un échantillon aléatoire de 50 enfants (échantillon aléatoire simple) à qui on demande combien d'argent ils dépensent par semaine en bonbons (variable aléatoire X) avec une fonction de densité donnée (voir fonction de densité). Donc, si cette fonction de densité, nous pouvons l'exprimer comme suit :
On établira que la statistique suffisante est la somme de l'expression a (x)
Les parties de la formule sont définies comme suit :
- lnβ (θ) : C'est une fonction qui ne dépend que du paramètre (dans notre cas la moyenne)
- lnb (x) : C'est une fonction qui ne dépend que de la variable aléatoire X
- a (x) : C'est une fonction qui ne dépend que de X et qui multiplie α (θ)
- α (θ) : C'est une fonction qui ne dépend que du paramètre (dans notre cas la moyenne)
Le théorème de Darmois en pratique
Bien que nous ayons tous la capacité et les outils pour découvrir de nouvelles statistiques, c'est rarement la norme. En d'autres termes, les professeurs d'économie et les experts du domaine font des recherches sur ces sujets.
À titre personnel, il est difficile de trouver quelqu'un qui se consacre à ce type de recherche. Ainsi, en pratique, l'important dans ce théorème est de comprendre d'où viennent ces statistiques que nous utilisons.
Par exemple, pour que quelqu'un découvre que la moyenne est une statistique suffisante, il a probablement utilisé ce processus.