Un estimateur est une statistique qui requiert certaines conditions pour pouvoir calculer certains paramètres d'une population avec certaines garanties.
Autrement dit, un estimateur est une statistique. Maintenant, il n'est pas n'importe quel statisticien. C'est une statistique avec certaines propriétés. Un exemple pourrait être la moyenne ou la variance. Ces métriques bien connues sont des estimateurs.
Nous nommons ces deux-là parce qu'ils sont les plus simples, mais dans les statistiques, il y en a beaucoup plus. Maintenant, revenant à la définition, qu'entendons-nous par certaines conditions pour que certains paramètres puissent être calculés avec certaines garanties ?
Tout d'abord, nous devons comprendre que lorsque nous menons une étude de recherche, nous voulons normalement étudier un certain paramètre. Par exemple, nous voulons étudier quelle est la hauteur moyenne des arbres dans une certaine ville de Colombie. La variable étudiée est la hauteur des arbres dans une certaine ville de Colombie. Alors que le paramètre est la hauteur moyenne des arbres dans cette ville.
Dans l'exemple ci-dessus, quelle condition devrions-nous exiger de notre estimateur ? Eh bien, par exemple, ne prenez pas de valeurs négatives. Et, bien sûr, que le calcul de la hauteur moyenne conduit à des valeurs possibles. Si l'arbre le plus haut mesure 10 mètres, l'estimateur moyen ne peut pas nous donner 15 mètres. Dans ce cas, il ne pourrait pas s'agir d'un estimateur, puisqu'il ne donnerait pas lieu à des valeurs physiquement possibles.
Ainsi, de ce qui précède, nous concluons que les estimateurs sont des statisticiens qui doivent, nécessairement, prendre des valeurs possibles à partir des données que nous étudions.
Maintenant, il ne suffit pas de prendre des valeurs comprises dans la plage de données. Normalement, certaines propriétés vous sont demandées afin que nous ayons certaines garanties. Il se peut que certains estimateurs remplissent la condition d'être des estimateurs, mais s'ils estiment mal, ils seront classés comme mauvais estimateurs.
Propriétés recommandées d'un estimateur
Pour qu'il remplisse bien sa fonction, en plus des estimateurs remplissant leur condition de base d'estimateurs, il est recommandé qu'ils remplissent certaines propriétés supplémentaires. Ce sont ces propriétés qui permettront de fiabiliser les conclusions tirées de notre étude.
- Suffisant: La propriété de suffisance indique que l'estimateur travaille avec toutes les données de l'échantillon. Par exemple, la moyenne ne sélectionne pas seulement 50 % des données. Il prend en compte 100% des données pour calculer le paramètre.
- Impartial: La propriété sans biais fait référence à la centralité d'un estimateur. C'est-à-dire que la moyenne d'un estimateur doit coïncider avec le paramètre à estimer. Il ne faut pas confondre la moyenne d'un estimateur avec l'estimateur de moyenne.
- Cohérent: La notion de cohérence va de pair avec la taille de l'échantillon et la notion de limite. En termes simples, il vient nous dire que les estimateurs remplissent cette propriété lorsque, dans le cas d'un très grand échantillon, ils peuvent estimer presque sans erreur.
- Efficace: La propriété d'efficacité peut être absolue ou relative. Un estimateur est efficace au sens absolu lorsque la variance de l'estimateur est minimale. Il ne faut pas confondre la variance d'un estimateur avec un estimateur de la variance.
- Fort: Un estimateur est dit robuste si, malgré l'hypothèse initiale erronée, les résultats ressemblent beaucoup aux réels.
Les propriétés ci-dessus sont les principales. Bien sûr, au sein de chaque propriété, il existe de nombreux cas différents. De même, il existe également d'autres propriétés souhaitables.
Autres propriétés souhaitables des estimateurs
Un exemple d'une propriété souhaitable est celle de l'invariance aux changements d'échelle. Cette propriété indique que si l'unité de mesure est modifiée, la valeur à estimer ne change pas. Par exemple, si nous mesurons les arbres en centimètres puis en mètres, la valeur moyenne devrait être la même. Avec quoi, on pourrait dire que la moyenne est un estimateur invariant avant changements d'échelle.
Une autre propriété que les manuels de statistiques indiquent généralement est celle de l'invariance aux changements d'origine. Pour continuer avec le cas précédent, nous allons voir un cas hypothétique. Supposons qu'après avoir mesuré tous les arbres, nous concluons que nous devons ajouter 10 centimètres à la hauteur enregistrée de chaque arbre. La bande utilisée était mal mesurée et nous devons faire ce changement pour ajuster les données à la réalité. Ce que nous faisons, c'est un changement d'origine. Et la question est est-ce que le résultat du changement de hauteur moyenne?
Contrairement au changement d'échelle, ici le changement d'origine affecte. S'il s'avère que tous les arbres mesurent 10 centimètres de plus, la hauteur moyenne augmentera.
On peut donc dire que la moyenne est un estimateur invariant avant changements d'échelle mais variant avant changements d'origine.
