La diagonale principale d'une matrice carrée est une ligne droite imaginaire avec une pente négative qui commence dans le coin supérieur gauche et se termine dans le coin inférieur droit de la matrice.
En d'autres termes, la diagonale principale est une ligne droite inclinée que l'on peut tracer sur la matrice du premier élément au dernier.
Comme la diagonale principale n'est pas donnée par la matrice, on dit qu'elle est imaginaire. Ainsi, pour obtenir la ligne diagonale, nous devrons la dessiner physiquement ou mentalement au-dessus de la matrice.
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Représentation de la diagonale principale
Étant donné une matrice carrée Zquelconque:
La diagonale principale de la matrice Z c'est:
Dessiner la diagonale principale
Une exigence pour trouver à la fois la diagonale principale et la diagonale secondaire est que la matrice doit être une matrice carrée.
Comment se rappeler que la diagonale principale commence dans le coin supérieur gauche et non dans le coin inférieur droit (diagonale secondaire) ?
Eh bien, par exemple, nous pouvons rechercher des références en géométrie.
Si nous regardons la matrice Z, nous pouvons voir comment se forme un triangle rectangle où son hypoténuse (diagonale) est la diagonale principale de la matrice. Graphiquement:
De la partie analytique, on peut aussi rappeler que la diagonale principale est une droite qui a une pente négative. Ainsi, pour avoir une pente négative, la diagonale doit commencer en haut à gauche et se terminer en bas à droite. Graphiquement:
Une fois la diagonale principale tracée, nous verrons que nous avons deux triangles symétriques au dessus et en dessous de la diagonale. Ce résultat est un signe que nous avons bien fait. Graphiquement:
Applications
La diagonale principale est utilisée pour obtenir le déterminant de la matrice, la décomposition LU, la décomposition de Cholesky, la règle de Sarrus et d'autres méthodes.
Exemple théorique
Trouvez la diagonale principale des matrices suivantes :
Solution graphique :
Solution analytique :
- Matrice diagonale principale À: (2;28;1).
- Matrice diagonale principale B: (9;5).
- Matrice diagonale principale C: n'est pas une matrice carrée et nous ne pouvons donc pas trouver la diagonale principale.
