La matrice de variance-covariance est une matrice carrée de dimension nxm qui collecte les variances dans la diagonale principale et les covariances dans les éléments extérieurs à la diagonale principale.
En d'autres termes, la matrice de variance-covariance est une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes et dont les variances sont réparties sur la diagonale principale et les covariances sur les éléments en dehors de la diagonale principale.
CovarianceReprésentation matricielle
La matrice de variance-covariance est généralement exprimée sous la forme
Bien qu'il semble qu'elle soit le symbole de la sommation et qu'elle n'ait aucun rapport avec la matrice de variance-covariance, cette lettre grecque représente parfaitement le contenu de cette matrice.
Pour le comprendre, regardons d'abord son expression :
Sachant qu'il y a m colonnes, les points de suspension indiquent que les colonnes entre la deuxième et la dernière colonne ont été omises. De même, sachant qu'il y a m lignes, les points de suspension indiquent que les lignes entre la deuxième et la dernière ligne ont été omises.
Dans ce cas, nous utilisons sigma pour représenter les covariances et sigma au carré pour les variances. Par exemple:
Quelle lettre grecque apparaît dans tous les éléments de la matrice ? Le sigma.
Il est donc logique que, pour définir la matrice de variance-covariance, un sigma soit également utilisé.
lettre grecque
est la forme majuscule de
Donc si on se souvient que la matrice de variance-covariance s'exprime en majuscule de sigma, il sera plus facile de se souvenir de sa définition.
Exigences pour qu'il s'agisse d'une matrice de variance-covariance
Les exigences pour qu'une matrice soit une variance-covariance sont les suivantes :
- Matrice Carrée: même nombre de lignes (n) que de colonnes (m), alors, n = m, et donc, la dimension de cette matrice peut être exprimée à la fois nxm et nxn.
- Dans la diagonale principale il y a écarts:
- Hors de la diagonale principale il y a covariances:
Application
La matrice de variance-covariance est très populaire en économétrie puisqu'elle est utilisée principalement dans le calcul matriciel des coefficients de régression linéaire à l'aide des moindres carrés ordinaires, entre autres utilisations.
En finance, il est utilisé pour obtenir une image générale de la volatilité des actifs financiers.
Expression mathématique de la variance et de la covariance
Les mathématiques s'expriment ainsi :
- Covariance de l'élément n = 1 et m = 2
- Variance de l'élément n = 1 et m = 1
La variance et la covariance peuvent être corrigées. C'est-à-dire que le dénominateur est n-1 au lieu de n. Cela est dû aux degrés de liberté et dépend du fait que l'on parle de variances et de covariances de population ou d'échantillon.
