Une séquence mathématique, en termes formels, est une fonction appliquée à l'ensemble des nombres naturels, de sorte qu'un ensemble de nombres réels est obtenu.
Pour le dire autrement, une séquence mathématique est une séquence ordonnée de nombres, et chacun de ces éléments est appelé un terme.
Contrairement aux ensembles, dans une séquence, l'ordre des éléments importe.
À ce stade, nous devons nous rappeler que les nombres naturels sont ceux qui incluent les nombres entiers et positifs.
De même, les nombres réels regroupent tous ces nombres naturels, entiers, rationnels et irrationnels. C'est-à-dire qu'ils vont de moins d'infini à plus d'infini.
Comme nous l'avons mentionné précédemment, la séquence est une fonction sur l'ensemble des nombres naturels, étant une fonction discrète, prenant des valeurs spécifiques en fonction de leur numéro d'ordre, sans prendre de valeur dans l'intervalle. C'est-à-dire qu'il y a le terme 1, le terme 2, le terme 3, et ainsi de suite, mais il n'y a pas de terme 1,5.
Un autre point à garder à l'esprit est qu'une séquence peut être finie ou infinie.
Façons de définir une séquence
Il existe principalement trois manières de définir une séquence :
- Définition de son terme général : Cela signifie que le terme am sera égal à une fonction de n. Par exemple : unm= 2n + 5. Ensuite:
à1=2(1)+5=7
à2=2(2)+5=9
à3=2(3)+5=11
Et donc ça va continuer à l'infini, donc la séquence sera :
(àm)=(7,9,11,… )
- Définition des éléments en fonction d'une propriété : Cela signifie que la séquence comprendra les nombres qui répondent à une certaine caractéristique, par exemple, des multiples de 5, ou les nombres qui se terminent par 7. Un autre exemple pourrait être des entiers impairs positifs inférieurs à 30, ce qui est le cas d'une séquence finie.
- En fonction du (ou des) terme(s) antécédent(s) : Le terme a est définim en fonction d'unn-1, par exemple, ou encore en fonction d'unn-1 déjàn-2. Dans ce cas, le premier élément doit être défini. Voyons donc un cas : en prenant comme point de départ qu'un1= 4 et unm= 3an-1+8, on peut calculer :
à2=3(4)+8=20
à3=3(20)+8=68
à4=3(68)+8=212
On continue ainsi jusqu'à l'infini, avec lequel on aurait la séquence suivante :
(àm)=(20,68,212,… )