Le trapèze isocèle est celui dans lequel ses deux côtés non parallèles, ceux qui joignent les deux bases de la figure, ont la même longueur.
Rappelons qu'un trapèze est un quadrilatère (polygone à quatre côtés) caractérisé par deux côtés appelés bases. Celles-ci sont parallèles (elles ne se croisent pas, même si elles se prolongent) et de longueurs différentes. De plus, ses deux autres côtés ne sont pas parallèles.
Le trapèze isocèle est l'un des trois types de trapèze, avec le trapèze droit et le trapèze scalène.
Caractéristiques du trapèze isocèle
Parmi les caractéristiques du trapèze isocèle, se distinguent les suivantes :
- Dans la figure ci-dessous, si le trapèze est isocèle, les côtés AB et CD sont de même longueur.
- Les deux angles intérieurs, situés sur la même base, mesurent la même chose. Si nous sommes guidés par l'image ci-dessous, ce qui suit serait vrai : : = β et δ = γ.
- Les diagonales de la figure, AC et DB, ont la même longueur.
- Les angles intérieurs, opposés, sont supplémentaires. C'est-à-dire qu'ils forment un angle droit. Dans l'image du bas, on observerait ce qui suit : α + γ = α + δ = β + δ = β + γ = 180º.
- Deux de ses angles intérieurs sont aigus (inférieurs à 90º), tandis que les deux autres sont obtus (supérieurs à 90º). Ainsi, dans la figure ci-dessous, et sont obtus, tandis que δ et sont aigus.
- Les quatre angles intérieurs totalisent 360º.
- Le trapèze isocèle est le seul type de trapèze qui puisse s'inscrire sur une circonférence. C'est-à-dire que ses quatre sommets peuvent traverser le périmètre d'un cercle (voir dessin ci-dessous).
- Il a un axe de symétrie, qui serait la ligne EF dans l'image ci-dessous. Celui-ci est perpendiculaire aux bases (formant un angle droit ou 90º) et les coupe en leur milieu. Ainsi, lors du tracé dudit axe, le polygone est divisé en deux parties symétriques. C'est-à-dire que chaque point d'un côté correspond à un point de l'autre côté, tous deux étant équidistants de l'axe de symétrie. Par exemple, la distance entre le point B et le point F est la même distance qui existe entre le point F et le point C.
Périmètre et aire du trapèze isocèle
Pour mieux comprendre les caractéristiques d'un trapèze isocèle, on peut calculer les mesures suivantes :
- Périmètre: On additionne la longueur de chaque côté de la figure : P = AB + BC + CD + AD.
- Surface: Comme dans tout trapèze, pour trouver son aire les bases sont additionnées, divisées par deux et multipliées par la hauteur. Comme indiqué dans la formule ci-dessous :
Maintenant, pour calculer la hauteur, nous pouvons dessiner deux hauteurs à partir des sommets A et D, comme nous pouvons le voir sur la figure ci-dessous :
On a donc le triangle ADFG ; où AD est égal à FG, et les triangles formés sur les côtés sont congrus. Par conséquent, BF est identique à GC. Nous supposerons que les deux mesurent à.
Il serait donc vrai que :
Maintenant, nous notons que les triangles formés latéralement sont des triangles rectangles, donc le théorème de Pythagore peut être appliqué. Par exemple, dans le triangle ABF, AB est l'hypoténuse, tandis que AF (la hauteur que nous appellerons h) et BF sont les jambes.
Nous devons également garder à l'esprit que AB est identique à DC. Ainsi, si nous remplaçons ce qui précède dans la formule de l'aire, nous aurions l'aire en fonction des côtés du trapèze :
Une autre façon de calculer l'aire d'un trapèze consiste à multiplier les diagonales, en divisant par deux et en multipliant par le sinus de l'angle qu'elles forment lorsqu'elles se coupent, en se rappelant que les deux diagonales sont égales :
Il est à noter qu'à l'intersection des diagonales, les angles opposés sont égaux et leur adjacent est leur angle supplémentaire.
Sachant alors que le sinus d'un angle est égal au sinus de son angle supplémentaire, on peut choisir n'importe lequel des angles à l'intersection des diagonales.
En résumé, dans l'image ci-dessous, il est vrai que : α = γ, β = δ et α + β = γ + δ = α + δ = β + γ = 180º
Pour trouver la diagonale, nous pouvons utiliser la formule suivante :
Par conséquent, la zone serait :
Exemple de trapèze isocèle
Imaginons que nous ayons un trapèze avec des bases qui mesurent 4 et 8 mètres, tandis que les côtés non parallèles mesurent 3,6 mètres chacun, les deux étant égaux (donc le trapèze est isocèle), quelle est la longueur du périmètre (P), l'aire ( A) et la diagonale (D) de la figure ?
