La distribution normale est un modèle théorique capable d'approcher de manière satisfaisante la valeur d'une variable aléatoire à une situation idéale.
En d'autres termes, la distribution normale ajuste une variable aléatoire à une fonction qui dépend de la moyenne et de l'écart type. C'est-à-dire que la fonction et la variable aléatoire auront la même représentation mais avec de légères différences.
Une variable aléatoire continue peut prendre n'importe quel nombre réel. Par exemple, les rendements boursiers, les résultats des tests, le QI et les erreurs standard sont des variables aléatoires continues.
Une variable aléatoire discrète prend des valeurs naturelles. Par exemple, le nombre d'étudiants dans une université.
La distribution normale est la base d'autres distributions telles que la distribution t de Student, la distribution du chi carré, la distribution F de Fisher et d'autres distributions.
Formule de la distribution normale
Étant donné une variable aléatoire X, on dit que la fréquence de ses observations peut être approchée de manière satisfaisante à une distribution normale telle que :
Où les paramètres de la distribution sont la valeur moyenne ou centrale et l'écart type :
En d'autres termes, nous disons que la fréquence d'une variable aléatoire X peut être représentée par une distribution normale.
Représentation
Fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire qui suit une distribution normale.
Propriétés
- C'est une distribution symétrique. Les valeurs de la moyenne, de la médiane et du mode coïncident. Mathématiquement,
Moyenne = Médiane = Mode
- Répartition unimodale. Les valeurs les plus fréquentes ou les plus susceptibles d'apparaître se situent autour de la moyenne. Autrement dit, lorsque l'on s'éloigne de la moyenne, la probabilité que les valeurs apparaissent et leur fréquence diminue.
De quoi avons-nous besoin pour représenter une distribution normale ?
- Une variable aléatoire.
- Calculer la moyenne.
- Calculer l'écart type.
- Décidez de la fonction que nous voulons représenter : fonction de densité de probabilité ou fonction de distribution.
Exemple théorique
Nous supposons que nous voulons savoir si les résultats d'un test peuvent se rapprocher de manière satisfaisante d'une distribution normale.
Nous savons que 476 élèves participent à ce test et que les résultats peuvent aller de 0 à 10. Nous calculons la moyenne et l'écart-type à partir des observations (résultats du test).
Ainsi, nous définissons la variable aléatoire X comme les scores des tests qui dépendent de chaque résultat individuel. Mathématiquement,
Le score de chaque élève est enregistré dans un tableau. De cette façon, nous obtiendrons une vision globale des résultats et de leur fréquence.
| Résultats | La fréquence |
| 0 | 20 |
| 1 | 31 |
| 2 | 44 |
| 3 | 56 |
| 4 | 64 |
| 5 | 66 |
| 6 | 62 |
| 7 | 51 |
| 8 | 39 |
| 9 | 26 |
| 10 | 16 |
| LE TOTAL | 476 |
Une fois le tableau fait, nous représentons les résultats de l'examen et les fréquences. Si le graphique ressemble à l'image précédente et répond aux propriétés, alors la variable des résultats du test peut être approchée de manière satisfaisante à une distribution normale de moyenne 4,8 et d'écart type de 3,09.
Les résultats du test peuvent-ils se rapprocher d'une distribution normale ?
Raisons de considérer que la variable des résultats du test suit une distribution normale :
- Distribution symétrique. C'est-à-dire qu'il y a le même nombre d'observations à la fois à droite et à gauche de la valeur centrale. Aussi, que la moyenne, la médiane et le mode ont la même valeur.
Moyenne = Médiane = Mode = 5
- Les observations avec le plus de fréquence ou de probabilité se situent autour de la valeur centrale. En d'autres termes, les observations avec moins de fréquence ou de probabilité sont loin de la valeur centrale.
La distribution normale décrit la variable aléatoire par une approximation qui produit des erreurs standard (les barres au-dessus de chaque colonne). Ces erreurs sont la différence entre les observations réelles (résultats) et la fonction de densité (distribution normale).
