Le mathématicien japonais Kiyoshi Ito a exprimé la règle de la chaîne du calcul stochastique en 1951, faisant ainsi connaître la célèbre devise qui porte son nom.
Le calcul stochastique définit la contrepartie du calcul déterministe de Newton-Leibniz pour les fonctions aléatoires.
En fait, le calcul stochastique d'Ito est l'un des outils les plus utiles des mathématiques financières modernes, sur lequel reposent pratiquement toute la théorie économique et l'analyse financière en temps continu.
La devise d'Ito en finance
Plus précisément, en bourse, le terme stochastique fait référence aux fluctuations des cours de clôture. En d'autres termes, les traders utilisent l'analyse stochastique pour décider quand acheter et vendre des titres.
Votre hypothèse est que lorsque le cours de clôture actuel d'une action est proche de son cours précédent, le plus bas ou le plus haut, le prix du jour suivant ne sera pas considérablement plus haut ou plus bas, respectivement.
Dans cette perspective, la devise d'Ito est fréquemment utilisée pour dériver le processus stochastique suivi par le prix d'un titre dérivé. Par exemple, si l'actif sous-jacent (le sous-jacent est la source à partir de laquelle la valeur de l'instrument financier est dérivée) suit le mouvement géométrique brownien, alors la devise japonaise démontre qu'un titre dérivé - dont le prix est fonction du prix de l'actif sous-jacent et du temps - suit également le mouvement géométrique brownien.
Mouvement brownien et devise d'Ito
Pour mieux comprendre cette théorie, rappelons d'abord ce qu'est le mouvement brownien : c'est le déplacement aléatoire (par hasard) que l'on observe dans certaines particules microscopiques lorsqu'elles sont dans un milieu fluide, dans un liquide.
C'est l'Écossais Robert Brown (à qui il doit son nom) le biologiste qui a découvert le phénomène en 1827 mais sa description mathématique a été élaborée par Albert Einstein, bien que de nombreuses années plus tard, en 1905. Cependant, à la suite de cette démonstration, le le célèbre Nobel allemand ouvrit les portes de la théorie atomique et initia le domaine de la physique statistique.
Ceci dit, la relation du principe brownien au lemme d'Ito s'explique comme suit → Si deux valeurs ont la même source de risque, une combinaison appropriée des deux valeurs peut éliminer ce risque; Ainsi, en principe, des dérivés financiers ont été créés pour limiter ces risques.
De plus, ce résultat a conduit au développement du modèle mathématique de Black-Scholes-Merton (le premier échantillon analytique complet pour évaluer les options) et de nombreuses théories et applications de couverture modernes.
