Les modèles d'équilibre sur les taux d'intérêt sont des modèles d'équilibre basés sur un processus géométrique brownien et sur la neutralité au risque des taux d'intérêt à court terme.
En d'autres termes, les modèles de taux d'intérêt d'équilibre utilisent des taux d'intérêt à plus court terme pour calculer les taux d'intérêt futurs en tenant compte de la structure par terme des taux d'intérêt.
Comme référence pour les taux d'intérêt à court terme, nous utiliserons les taux d'intérêt du obligations à coupon zéro. Un exemple serait les bons du Trésor espagnol émis à court terme.
Éléments recommandés : obligation à coupon zéro, option et réversion à la moyenne.
La structure temporelle des prix des obligations à coupon zéro est obtenue à partir du processus géométrique brownien qui capture les variations infinitésimales des taux d'intérêt à court terme.
Les prix des obligations à coupon zéro sont utilisés pour évaluer le prix des options d'obligations à coupon zéro et des options d'obligations à coupon.
Ainsi, pour calculer les prix futurs des obligations zéro coupon, nous avons besoin de taux d'intérêt zéro coupon à court terme. De cette façon, nous pouvons également construire la courbe ou la structure temporelle des taux d'intérêt à coupon zéro. Une fois que nous avons la courbe, nous pouvons déterminer l'évolution des taux d'intérêt à long terme compte tenu des taux d'intérêt à court terme.
Structure des échéances ou courbe des taux d'intérêt des obligations à coupon zéro calculée à partir du modèle Vasicek :
Hypothèses du modèle d'équilibre sur les taux d'intérêt
Les hypothèses du modèle sont :
- Neutralité du risque.
Nous supposons que le risque neutre est l'hypothèse classique de valorisation des actifs sur les marchés financiers. Cette hypothèse est essentielle pour obtenir le prix d'une obligation à l'aide de la simulation Monte Carlo.
- Distribution log-normale des obligations et des taux d'intérêt.
Nous supposons la distribution log-normale puisque nous posons les taux d'intérêt comme une variable positive comme les prix des obligations. Il n'aurait pas de sens d'évaluer les obligations à prix négatif. En supposant une distribution log-normale des taux d'intérêt, nous pouvons dire que les taux d'intérêt suivront un processus géométrique brownien. Si la distribution des taux d'intérêt était une distribution normale, alors nous dirions que les taux d'intérêt suivent un processus arithmétique brownien.
Modèles d'équilibre à facteur unique
Les modèles d'équilibre à un facteur sont des modèles de calcul de la structure par terme des taux d'intérêt à partir des taux d'intérêt à court terme.
On dit d'un seul facteur puisque le risque ou l'incertitude est donné par un seul facteur : la volatilité des taux d'intérêt. Il existe des modèles d'équilibre à deux facteurs qui offrent plus de possibilités dans les mouvements de taux d'intérêt.
Mathématiquement, nous définissons un modèle d'équilibre à un facteur de la forme :
Où,
- r (t) : taux d'intérêt à court terme à un instant t.
- dr : évolution des taux d'intérêt (r) dans le temps (dt).
- dt : passage du temps = évolution du temps.
- m (r) dt : direction ou tendance (m) prise par les taux d'intérêt (r) au cours du temps (dt).
- s (r) : écart type des taux d'intérêt (r).
- dZ : composante aléatoire ou perturbation qui suit une distribution normale de moyenne 0 et de variance 1.
L'expression ci-dessus est connue sous le nom de équation différentielle stochastique exprimé à travers le processus Itô.
Types de modèles
Les modèles d'équilibre à un facteur les plus courants sont :
- Modèle de Rendleman et Bartter.
- Modèle Vasicek.
- Modèle Cox, Ingresoll et Ross.