Les vecteurs propres sont des vecteurs multipliés par une valeur propre dans les transformations linéaires d'une matrice. Les valeurs propres sont des constantes qui multiplient les vecteurs propres dans les transformations linéaires d'une matrice.
En d'autres termes, les vecteurs propres traduisent les informations de la matrice d'origine en la multiplication de valeurs et d'une constante. Les valeurs propres sont cette constante qui multiplie les vecteurs propres et participe à la transformation linéaire de la matrice d'origine.
Bien que son nom en espagnol soit très descriptif, en anglais, les vecteurs propres sont appelés vecteurs propres et les valeurs propres, valeurs propres.
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propres vecteurs
Les vecteurs propres sont des ensembles d'éléments qui, en multipliant n'importe quelle constante, sont équivalents à la multiplication de la matrice d'origine et des ensembles d'éléments.
Mathématiquement, un vecteur propreV= (v1,…, Vm) d'une matrice carréeQ est un vecteurV qui satisfait l'expression suivante pour toute constanteh:
QV = hV
Valeurs propres
La constante h est la valeur propre qui appartient au vecteur propre V.
Les valeurs propres sont les racines réelles (racines qui ont des nombres réels comme solution) que l'on trouve à travers l'équation caractéristique.
Caractéristiques des valeurs propres
- Chaque valeur propre a des vecteurs propres infinis car il existe des nombres réels infinis qui peuvent faire partie de chaque vecteur propre.
- Ce sont des scalaires, ils peuvent être des nombres complexes (non réels) et ils peuvent être identiques (plus d'une valeur propre égale).
- Il y a autant de valeurs propres que de nombre de lignes (m) ou des colonnes (m) a la matrice d'origine.
Vecteurs et valeurs propres
Il existe une relation de dépendance linéaire entre les vecteurs et les valeurs propres puisque les valeurs propres multiplient les vecteurs propres.
Mathématiquement
Si V est un vecteur propre de la matriceZ Oui h est la valeur propre de la matrice Z, ensuitehV est une combinaison linéaire entre vecteurs et valeurs propres.
Fonction caractéristique
La fonction caractéristique permet de trouver les valeurs propres d'une matriceZ carré.
Mathématiquement
(Z - hl) V = 0
Où ZOuih sont définis ci-dessus etje est la matrice identité.
termes
Pour trouver les vecteurs et valeurs propres d'une matrice, il faut satisfaire :
- Matrice Z carré : le nombre de lignes (m) est le même que le nombre de colonnes (m).
- Matrice Z réel. La plupart des matrices utilisées en finance ont de vraies racines. Quel avantage y a-t-il à utiliser de vraies racines ? Eh bien, les valeurs propres de la matrice ne seront jamais des nombres complexes, et cela, mes amis, résout beaucoup nos vies.
- Matrice (Z- salut) non inversible : déterminant = 0. Cette condition nous aide à toujours trouver des vecteurs propres différents de zéro. Si nous trouvions des vecteurs propres égaux à 0, alors la multiplication entre les valeurs et les vecteurs propres serait nulle.
Exemple pratique
On suppose que l'on veut trouver les vecteurs et les valeurs propres d'unZ Matrice 2 × 2 dimensions :
1. Nous substituons la matrice Z Ouije dans l'équation caractéristique :
2. Nous fixons les facteurs :
3. On multiplie les éléments comme si on cherchait le déterminant de la matrice.
4. La solution de cette équation quadratique est h = 2 et h = 5. Deux valeurs propres car le nombre de lignes ou de colonnes dans la matrice Z est 2. Donc, nous avons trouvé les valeurs propres de la matrice Z qui à leur tour font le déterminant 0.
5. Pour trouver les vecteurs propres, nous devrons résoudre :
6. Par exemple, (v1, v2) = (1,1) pour h = 2 et (v1, v2) = (- 1,2) pour h = 5 :
