Les transformations linéaires de matrices sont des opérations linéaires à travers des matrices qui modifient la dimension initiale d'un vecteur donné.
En d'autres termes, nous pouvons modifier la dimension d'un vecteur en le multipliant par n'importe quelle matrice.
Les transformations linéaires sont à la base des vecteurs et des valeurs propres d'une matrice puisqu'elles dépendent linéairement les unes des autres.
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Mathématiquement
On définit une matriceC n'importe laquelle de dimension 3 × 2 multipliée par un vecteur V de dimensionn = 2 tel que V = (v1, v2).
De quelle dimension sera le vecteur résultat ?
Le vecteur résultant du produit de la matriceC3×2avec vecteurV2×1sera un nouveau vecteur V' de dimension 3.
Ce changement dans la dimension du vecteur est dû à la transformation linéaire à travers la matrice C.
Exemple pratique
Étant donné la matrice carréeR de dimension 2 × 2 et le vecteurV de dimension 2.
Une transformation linéaire de la dimension du vecteurV c'est:
où la dimension initiale du vecteur V était 2 × 1 et maintenant la dimension finale du vecteur Tu vois3 × 1. Ce changement de dimension est obtenu en multipliant la matrice R.
Ces transformations linéaires peuvent-elles être représentées graphiquement ? Bien sûr!
Nous allons représenter le vecteur résultat V' dans un plan.
Ensuite:
V = (2,1)
V '= (6,4)
Graphiquement
Vecteurs propres utilisant la représentation graphique
Comment pouvons-nous déterminer qu'un vecteur est un vecteur propre d'une matrice donnée simplement en regardant le graphique ?
On définit la matriceré de dimension 2 × 2 :
Les vecteurs v1= (1,0) et v2= (2,4) vecteurs propres de la matrice ré?
Traiter
1. Commençons par le premier vecteur v1. On fait la transformation linéaire précédente :
Donc si le vecteur v1 est le vecteur propre de la matrice ré, le vecteur résultant v1'Et vecteur v1ils doivent appartenir à la même lignée.
Nous représentons v1 = (1,0) et v1’ = (3,0).
Étant donné que les deux v1comme V1' Appartenir à la même lignée, v1 est un vecteur propre de la matrice ré.
Mathématiquement, il existe une constanteh(valeur propre) telle que :
2. On continue avec le deuxième vecteur v2. On répète la transformation linéaire précédente :
Donc si le vecteur v2 est le vecteur propre de la matrice ré, le vecteur résultant v2'Et le vecteur v2 ils doivent appartenir à la même ligne (comme le graphique ci-dessus).
Nous représentons v2 = (2,4) et v2’ = (2,24).
Depuis v2 et V2'Ne pas appartenir à la même lignée, v2 n'est pas un vecteur propre de la matrice ré.
Mathématiquement, il n'y a pas de constanteh(valeur propre) telle que :
