ARMA Model - Qu'est-ce que c'est, définition et concept

Le modèle ARMA est un modèle autorégressif stationnaire dans lequel les variables indépendantes suivent des tendances stochastiques et le terme d'erreur est stationnaire.

En d'autres termes, le modèle ARMA intègre l'autocorrélation et le modèle de moyenne mobile dans sa régression.

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Signification de ARMA

Le modèle ARMA, de l'anglais, Moyenne mobile autorégressive il est divisé en deux parties :

Autorégressif: La variable dépendante revient à elle-même dans un laps de tempst.
Moyenne mobile: Les revers sont représentés par des processus aléatoires.

modèle AR

Mathématiquement

1. On part du modèle autorégressif AR(p) :

Où:

En d'autres termes, le terme d'erreur suit un processus stochastique (variable aléatoire).

2. On établit l'égalité suivante :

4. On substitue l'égalité précédente dans AR (p) et on obtient :

4. On définit un nouveau polynôme qui dépend de R :

Ensuite,

Si nous multiplions le nouveau polynôme par X_t et on passe tous les paramètres et régresseurs à gauche de l'égal, on obtiendra le AR initial (p).

Du modèle autorégressif, nous nous retrouvons avec la dernière équation :

C'est la contribution du modèle autorégressif au modèle ARMA.

Modèle de moyenne mobile

Un modèle de moyenne mobile est une autorégression où les régresseurs sont les termes d'erreur de chaque périodet.

Mathématiquement

1. On part du modèle autorégressif AR (p) où les régresseurs sont le terme d'erreur :

Comme le modèle autorégressif, le terme d'erreur suit un processus stochastique (variable aléatoire) tel que :

Le modèle de moyenne mobile est toujours stationnaire, c'est-à-dire que les variables indépendantes (termes d'erreur retardés) sont des variables aléatoires. En d'autres termes, les termes d'erreur de la période précédente sont indépendants des termes d'erreur actuels et ont la même distribution de probabilité (identique) avec une moyenne de 0 et une variance conditionnelle.

2. On établit l'égalité suivante :

3. On substitue l'égalité précédente dans le AR (p) du terme d'erreur et on obtient :

4. On définit un nouveau polynôme qui dépend de E :

On prend un facteur commun :

Du modèle de moyenne mobile, nous nous retrouvons avec l'équation du point 4:

Le modèle ARMA (p, q)

Mathématiquement

Le modèle général de séries chronologiques autorégressives avec une moyenne mobile dep termes autorégressifs etquelle Les termes de moyenne mobile sont exprimés comme suit :