L'estimation du maximum de vraisemblance (VLE) et le modèle GARCH sont deux outils économétriques largement utilisés pour faire des prédictions sur le degré de dispersion d'un échantillon sur une période donnée grâce à une autorégression.
En d'autres termes, EMV et GARCH sont utilisés ensemble pour trouver la volatilité moyenne à moyen terme d'un actif financier par autorégression.
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GARCH
Formule du modèle GARCH (p, q) :
Où
Coefficients
Les coefficients du modèle GARCH (p, q) sont
- La constante
avec
ils déterminent le niveau moyen de volatilité à moyen terme. Nous restreignons la constante aux valeurs supérieures à 0, c'est-à-dire (a + b)> 0.
- Le paramètre d'erreur
détermine la réaction de volatilité aux chocs du marché. Ainsi, si ce paramètre est supérieur à 0,1, cela indique que la volatilité est très sensible lorsqu'il y a des changements sur le marché. Nous limitons le paramètre d'erreur aux valeurs supérieures à 0, c'est-à-dire à> 0.
- Paramètre
détermine de combien la volatilité actuelle est proche de la volatilité moyenne à moyen terme. Donc, si ce paramètre est supérieur à 0,9, cela signifie que le niveau de volatilité restera après un choc de marché.
- nous restreignons
être inférieur à 1, c'est-à-dire (a + b) <1.
Important
Bien que ces coefficients soient obtenus par EMV, ils dépendent indirectement des caractéristiques de l'échantillon. Ainsi, si un échantillon est composé de rendements quotidiens, on obtiendra des résultats différents d'un échantillon composé de rendements annuels.
EMV
L'EMV maximise la probabilité des paramètres de toute fonction de densité qui dépend de la distribution de probabilité et des observations dans l'échantillon.
Ainsi, lorsque l'on veut obtenir une estimation des paramètres du modèle GARCH, on utilise la fonction logarithmique du maximum de vraisemblance. Dans le modèle GARCH, nous supposons que la perturbation suit une distribution normale standard avec une moyenne 0 et une variance :
Ensuite, nous devrons appliquer des logarithmes à la fonction de densité d'une distribution normale et nous trouverons la fonction de maximum de vraisemblance.
Traiter
- Écrivez la fonction de densité. Dans ce cas, à partir de la distribution de probabilité normale.
Si nous dérivons la fonction de densité par rapport à ses paramètres, nous trouvons les conditions du premier ordre (CPO) :
Trouvez-vous les formules sur le bon familier? Ce sont la fameuse moyenne et la variance de l'échantillon. Ce sont les paramètres de la fonction de densité.
- Nous appliquons les logarithmes naturels :
- Nous corrigeons la fonction ci-dessus :
- Pour obtenir des estimations du maximum de vraisemblance des paramètres précédents, il faut :
En d'autres termes, pour trouver des estimations des paramètres GARCH avec une probabilité maximale, nous devons maximiser la fonction de vraisemblance maximale (fonction précédente).
Application
Chaque fois que nous voulons trouver la fonction logarithmique de vraisemblance maximale, devrons-nous faire les étapes précédentes ? Dépend.
Si nous supposons que la fréquence des observations peut être approchée de manière satisfaisante à une distribution de probabilité normale standard, alors nous n'aurons qu'à copier la dernière fonction.
Si nous supposons que la fréquence des observations peut être rapprochée de manière satisfaisante d'une distribution t de Student, nous devrons normaliser les données et appliquer des logarithmes à la fonction de densité t de Student. En conclusion, effectuez toutes les étapes ci-dessus.
