La géométrie fractale est la branche de la géométrie qui étudie les fractales. Ce sont des objets complexes, avec une structure qui se répète quand on l'observe à différentes échelles.
Les fractales, en d'autres termes, sont constituées de parties similaires à l'ensemble et sont des structures irrégulières. Pensons à une tête de brocoli qui, une fois divisée, est divisée en plusieurs brocolis plus petits.
La géométrie fractale est née du besoin d'avoir une meilleure approximation de la réalité, puisque la géométrie plane et la géométrie de l'espace étudient des figures et des corps que, très peu, on retrouve dans la nature.
Considérez que les montagnes ne sont pas des cônes et que même les pyramides d'Egypte, si nous les regardons de près, auront certaines irrégularités sur leurs surfaces. Ces imperfections sont appelées avec la qualité de la rugosité, et c'est une caractéristique qui ajoute une géométrie fractale aux objets, qui n'ont plus seulement le périmètre, la surface et le volume.
Origine de la géométrie fractale
L'origine de la géométrie fractale est mise au point par le mathématicien Benoit Mandelbrot, ainsi que sa plus grande œuvre littéraire : "Fractal Geometry of Nature", publiée en 1982.
Le mot fractale vient du mot latin "fractus", qui signifie cassé ou fracturé, et a été inventé par Mandelbrot en 1975.
Il convient de mentionner que, bien que Mandelbrot ait formalisé l'étude de l'économie fractale, il n'était pas le premier à remarquer l'existence de fractales dans la nature. Par exemple, si nous regardons le travail du célèbre peintre japonais Katsushika Hokusai, nous verrons ce concept appliqué (et Mandelbrot lui-même l'a mentionné dans une interview). Par exemple, dans le tableau "La Grande Vague", nous observons comment à l'intérieur de la vague il y a d'autres vagues plus petites.
Caractéristiques d'une fractale
Les principales caractéristiques d'une fractale sont les suivantes :
- Auto-similarité : Cela fait référence à ce que nous avons déjà mentionné auparavant. Si nous regardons une partie de la fractale à plus grande échelle (de plus près), elle ressemblera à l'objet entier. C'est-à-dire que la partie est similaire au tout, bien que ce ne soit pas toujours tout à fait vrai. Par exemple, imaginons un losange composé de nombreux petits losanges. Bien que la taille de ces losanges varie un peu, ce serait une fractale.
- La dimension fractale n'est pas égale à la dimension topologique : Pour expliquer la dimension topologique, imaginons que nous ayons un plan divisé en grilles, comme un maillage. Je trace donc une ligne qui passe par 2 grilles. Si je divise toutes les grilles de maillage en deux, la ligne passera par 4 grilles. C'est-à-dire qu'il est multiplié par 2, ce qui est égal au facteur de réduction (2) porté à 1 (2 = 21), qui, mérite la redondance, est le nombre de dimensions de la ligne. Maintenant, si nous avons un polygone, une figure à deux dimensions, quelque chose de similaire se produit. Par exemple, si nous avons un carré qui s'étend sur quatre grilles et que nous appliquons à nouveau un facteur de réduction de 2, le carré s'étendra sur 16 grilles. C'est-à-dire que le nombre de grilles (4) est multiplié par 4, ce qui est 2 porté à 2 (2 = 22), l'exposant étant le nombre de dimensions au carré. Cependant, tout ce qui précède n'est pas vrai dans les fractales.
- Ils ne se distinguent à aucun moment : Cela signifie, en termes mathématiques, que la dérivée de la fonction représentée ne peut pas être calculée. En termes visuels, cela signifie que le graphique n'est pas continu, mais a des pics, il n'est donc pas possible de faire la dérivation.
Application de la géométrie fractale
La géométrie fractale peut être appliquée dans divers domaines. Par exemple, en 1940, Lewis Fry Richardson avait observé que diverses frontières entre pays et pays changeaient selon l'échelle de mesure. Autrement dit, si nous mesurons un contour géographique, le résultat sera différent en fonction de la longueur de la règle utilisée. Cela a servi de référence à Mandelbrot dans son article de 1967, publié dans la revue Science : « Quelle est la longueur de la côte de la Grande-Bretagne ?
Cela s'explique, si l'on tient compte du fait que les territoires géographiques sont des fractales et, comme on les voit à plus grande échelle, on voit plus d'irrégularités.
Une autre application de la géométrie fractale est l'analyse des mouvements sismiques et des mouvements boursiers.
De plus, nous devons reconnaître que les fractales ont servi d'inspiration à des artistes comme le susmentionné Hokusa, et nous avons également le cas de Jackson Pollock.