La valeur absolue d'un nombre réel est sa grandeur, quel que soit le signe qui le précède.
La valeur absolue d'un nombre, en d'autres termes, est la valeur qui résulte de l'élimination du signe qui lui correspond.
Pour le regarder en termes plus formels, nous avons les conditions suivantes qui doivent être remplies, où le x entre deux barres signifie que nous trouvons la valeur absolue de x :
| x | = x si x≥ 0
| x | = -x si x <0
C'est-à-dire que la valeur absolue d'un nombre positif est ce même nombre. Au lieu de cela, la valeur absolue d'un nombre négatif est égale à ce nombre, mais avec un signe négatif devant lui. C'est-à-dire multiplié par -1.
De plus, la valeur absolue de -10 est - (- 10) = 10. Ainsi, nous devons souligner que la valeur absolue est toujours positive.
Propriétés de valeur absolue
Parmi les propriétés de valeur absolue, se distinguent les suivantes :
- La valeur absolue d'un nombre et son contraire est la même. C'est-à-dire que la valeur de -19 et 19 est la même : 19.
- La valeur absolue d'une somme est égale ou inférieure à la somme des valeurs absolues des additions. C'est-à-dire qu'il est vrai que :
| x + y | | x | + | y |
Nous pouvons vérifier ce qui précède avec quelques exemples :
|8+9|≤|8|+|9|
|17|≤8+9
17≤17
|12-25|≤|12|+|-25|
|-13|≤12+25
13≤37
|16+31-21|≤|16|+|31|+|-21|
|26|≤16+31+21
26≤68
- Une autre propriété est celle que nous appelons la propriété multiplicative. Cela nous indique que la valeur absolue d'un produit est égale au produit des valeurs absolues des facteurs. C'est-à-dire que ce qui suit est vrai :
| xy | = | x |. | y |
Nous pouvons vérifier ce qui précède dans les exemples suivants :
| 3 × 4 | = | 3 | x | 4 |
|12|=3×4
12=12
| 6x-5 | = | 6 | x | -5 |
|-30|=6×5
30=30
- En contrepartie de la propriété multiplicative, nous avons celle de préservation de la division, qui nous dit que la valeur absolue d'une division est égale au quotient des valeurs absolues des mêmes éléments de ladite opération. Ceci, tant que le diviseur n'est pas nul. C'est-à-dire qu'il est vrai que :
| x / y | = | x | / | y |
On peut le voir dans quelques exemples :
|60/5|=|60|/|5|
|12|=60/5
12=12
|-87/3|=|-87|/|3|
|-29|=87/3
29=29
Valeur absolue sur un graphique
Voyons ensuite à quoi ressemblerait un exemple de valeur absolue dans un plan cartésien.
Dans ce cas, nous avons une fonction simple y = | x |, et nous notons que la valeur de y sera toujours positive, quelle que soit la valeur de x.
