La fraction génératrice est celle qui donne un nombre décimal, soit exact, soit périodique.
Vue d'une autre manière, une fraction génératrice est une façon d'exprimer un nombre décimal. Ceci, au moyen d'une fraction irréductible, c'est-à-dire où le numérateur et le dénominateur n'ont pas de diviseurs en commun, de sorte que la fraction ne peut pas être simplifiée en nombres plus petits.
Par exemple 6/8 est une fraction réductible car il équivaut à 3/4, ce dernier étant une fraction irréductible.
Donc, pour que ce soit plus clair, la fraction génératrice de 0,25 serait de 1/4, tandis que la fraction génératrice de 0,15 est de 3/20.
Il faut se rappeler qu'une fraction est la division d'un nombre en parties égales. Il est composé de deux nombres, tous deux séparés par une ligne droite ou inclinée (sauf s'il s'agit d'une fraction mixte). Le nombre en haut s'appelle le numérateur, tandis que celui en bas s'appelle le dénominateur.
Comment trouver la fraction génératrice
Pour savoir comment trouver la fraction génératrice il faut distinguer trois cas :
- Lorsque le nombre décimal est exact : On prend le nombre sans la virgule et on le divise par dix augmenté au nombre de décimales, puis on simplifie la fraction. C'est-à-dire que si nous avons, par exemple, 0,26, la conversion se ferait comme suit :
- Lorsque la décimale est périodique pure : Nous devons nous rappeler qu'une décimale répétitive pure est une décimale qui a un ou plusieurs nombres dans sa partie décimale qui se répètent indéfiniment. Par exemple 0,1313131313…, de sorte que 13 se répète à l'infini et peut s'exprimer ainsi :
Ainsi, pour trouver la fraction génératrice d'une décimale répétitive pure, nous devons prendre le nombre sans la virgule décimale, en prenant la période une seule fois, et en soustraire la partie entière. Ensuite, on divise le résultat par un nombre qui a autant de neuf qu'il y a de chiffres dans la période, et enfin on simplifie jusqu'à trouver la fraction irréductible.
Donc, si nous avons 1.454545454545…, la conversion serait la suivante :
- Lorsque la décimale est périodique mixte : Une décimale périodique mixte est une décimale dont la partie décimale est une partie périodique et une autre ne l'est pas, comme dans l'exemple suivant : 3.456666666… qui peut être exprimé sous la forme
Dans ces cas, pour trouver la fraction génératrice, nous devons prendre le nombre, sans la virgule et en répétant la période une seule fois. De ce nombre, nous soustrayons le nombre composé de tous les chiffres antérieurs à la période. Enfin, on divise le résultat par le nombre formé par autant de neuf qu'il y a de chiffres dans la période et autant de zéros que la partie décimale qui n'est pas périodique (en plaçant les neuf avant les zéros), et si possible la fraction résultante est simplifiée .
Donc, si nous avons le nombre 4.366666666…, la fraction génératrice serait :
