L'union d'événements est une opération dont le résultat est composé de tous les événements élémentaires non répétés que deux ou plusieurs ensembles ont en commun et non en commun.
Autrement dit, étant donné deux ensembles A et B, l'union de A et B serait formée par tous les ensembles non répétitifs qui ont A et B. Intuitivement, la probabilité de l'union des événements de A et B impliquerait de répondre à la question : quelle est la probabilité que A sorte ou que B sorte ?
Le symbole de l'union des événements est U. De telle manière que si nous voulons noter mathématiquement l'union de deux événements B et D, nous la remarquerons comme : B U D.
Généralisation de l'union événementielle
Jusqu'ici nous avons vu et indiqué l'union de deux événements. Par exemple, A U B ou B U D. Mais que se passe-t-il si nous avons trois, quatre et même cent événements ?
C'est ce que nous appelons la généralisation, c'est-à-dire une formule qui nous aide à remarquer l'opération d'union des événements dans ces cas. Si nous avons 8 événements, au lieu d'écrire les dix événements, nous utiliserons la notation suivante :
Au lieu d'appeler chaque événement A, B ou n'importe quelle lettre, nous allons appeler Oui. S est l'événement et l'indice i indique le nombre. De telle sorte que nous aurons, appliqué à l'exemple de 10 événements, ce qui suit :
Ce que nous avons fait, c'est appliquer la notation précédente et la développer. Maintenant, nous n'en aurons pas toujours besoin. Surtout quand il s'agit d'un grand nombre d'événements.
Union d'événements disjoints et non disjoints
Ce que le concept d'événements disjoints indique, c'est que deux événements n'ont aucun élément en commun.
Lorsqu'elles sont disjointes, le fonctionnement de l'union événementielle est simple. Il suffit d'additionner les probabilités des deux pour obtenir la probabilité que l'un ou l'autre événement se produise. Cependant, lorsque les événements ne sont pas disjoints, un petit détail doit être ajouté. Les éléments répétés doivent être éliminés. Par exemple:
Supposons un espace de résultat qui va de 1 à 5. Les événements sont les suivants :
Événement A : (1,2,4) -> 60 % de probabilité = 0,6
Événement B : (1,4,5) -> 60 % de probabilité = 0,6
L'opération A U B, intuitivement, serait d'additionner les événements de A et les événements de B, mais si on fait cela, la probabilité serait de 1,2 (0,6 + 0,6). Et comme l'indiquent les axiomes de probabilité, la probabilité doit toujours être comprise entre 0 et 1. Comment la résolvons-nous ? Soustraire l'intersection des événements A et B. C'est-à-dire supprimer les éléments qui se répètent :
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A B = (1,4)
A U B = A + B - (A B) = (1,2,4,5)
Concernant les probabilités, il faudrait :
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (80 %)
En effet, la probabilité que survienne 1 ou 2 ou 4 ou 5. En supposant que tous les nombres aient la même probabilité d'arriver, c'est 80%.
Graphiquement, cela ressemblerait à ceci :
Propriétés de l'union d'événements
L'union des événements est un type d'opération mathématique. Certains types d'opérations sont aussi l'addition, la soustraction, la multiplication. Chacun d'eux a une série de propriétés. Par exemple, nous savons que le résultat de l'addition de 3 + 4 est exactement le même que celui de l'addition de 4 +3. À ce stade, l'union d'événements a plusieurs propriétés qui méritent d'être connues :
- Commutatif : Cela signifie que l'ordre dans lequel il est écrit ne modifie pas le résultat. Par exemple:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- Associatif: En supposant qu'il y ait trois événements, peu importe lequel faire en premier et lequel faire ensuite. Par exemple:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- Distributif: Lorsque nous incluons le type d'opération d'intersection, la propriété distributive est vérifiée. Il suffit de regarder l'exemple suivant :
- A U (B C) = (A U B) ∩ (A U C)
Exemple d'union d'événement
Un exemple simple de l'union de deux événements A et B serait le suivant. Supposons le cas du lancer d'un dé parfait. Un dé à six faces numérotées de 1 à 6. De manière à ce que les événements soient définis ci-dessous :
À: Qu'il soit supérieur à 2. (3,4,5,6) en probabilité est 4/6 => P (A) = 0,67
C : Que cinq sortent. (5) en probabilité est 1/6 => P (C) = 0,17
Quelle est la probabilité de A U C ?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A C)
Puisque P (A) et P (C) l'ont déjà, nous allons calculer P (A C)
A ∩ C = (5) en probabilités P (A ∩ C) = 1/6 = 0,17
Le résultat final est :
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67 %)
La probabilité qu'il obtienne un dé supérieur à 2 ou qu'il obtienne un dé 5 est de 67 %.
