L'intersection d'événements est une opération dont le résultat est composé des événements non répétitifs et communs de deux ou plusieurs ensembles.
En termes plus simples, étant donné deux événements A et B, nous dirons que leur intersection est constituée des événements élémentaires qu'ils ont en commun. On pourrait aussi indiquer que l'intersection des événements implique de répondre à la question : Quelle est la probabilité que A et B se produisent en même temps ?
Le symbole avec lequel l'intersection est indiquée est le suivant : . C'est comme un U inversé. Ainsi, si l'on veut désigner l'intersection de A et B, on mettra : A ∩ B
Généralisation de l'intersection des événements
Dans l'explication, jusqu'à présent, nous avons vu l'intersection de deux événements. Par exemple, A B ou B ∩ A. Maintenant, que se passe-t-il si nous avons plus de deux événements ?
La généralisation de l'intersection d'événements nous donne une solution pour désigner l'intersection, par exemple, de 50 événements. Supposons que nous ayons 7 événements, nous utiliserons la notation suivante :
Au lieu d'appeler chaque événement A, B ou n'importe quelle lettre, nous allons appeler Oui. S est l'événement et l'indice i indique le nombre. De cette façon, nous aurons, dans l'exemple de 7 événements, la formule suivante :
Ce que nous avons fait, c'est développer la notation. C'est simplement pour voir ce que cela signifie, mais ce n'est qu'en mettant ce qui est devant l'égal que vous saurez ce que ce développement implique. Dans ce qui précède, intuitivement, nous dirions « sortie S1 et sortie S2 et sortie S3 et sortie S4 et sortie S5 et sortie S6 et sortie S7 ». C'est-à-dire qu'ils seraient les éléments communs que les 7 événements ont.
Intersection d'événements disjoints et non disjoints
L'intersection d'événements disjoints ne peut tout simplement pas exister. Évidemment, si deux événements sont disjoints, on dira qu'ils n'ont aucun élément en commun. Et s'ils n'ont pas d'éléments en commun, le résultat est l'ensemble vide ou l'événement impossible.
Dans le cas d'événements non disjoints, le résultat de l'intersection sera les éléments en commun. Voyons un exemple de pourquoi l'intersection d'événements disjoints ne peut pas exister :
Supposons que nous ayons un espace échantillon composé de (1,2,3,4,5,6) où :
A : Laissez 1 ou 2 apparaître (1,2)
B : Cela sort supérieur ou égal à 5 (5,6)
A B = Ø
Il n'y a pas de carrefour. C'est un événement impossible. Cela se produit parce que les événements sont disjoints. C'est-à-dire qu'ils n'ont aucun élément en commun.
Pour sa part, l'intersection d'événements non disjoints est calculée comme :
Propriétés de l'intersection des événements
L'union des événements est un type d'opération mathématique. Certains types d'opérations sont aussi l'addition, la soustraction, la multiplication. Chacun d'eux a une série de propriétés. Par exemple, nous savons que le résultat de l'addition de 3 + 4 est exactement le même que celui de l'addition de 4 +3. À ce stade, l'union d'événements a plusieurs propriétés qui méritent d'être connues :
- Commutatif : Cela signifie que l'ordre dans lequel il est écrit ne modifie pas le résultat. Par exemple:
- A B = B A
- C D = D ∩ C
- Associatif: En supposant qu'il y ait trois événements, peu importe lequel faire en premier et lequel faire ensuite. Par exemple:
- (A B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- (A C) U B = (A ∩ B) C
- Distributif: Lorsque nous incluons le type d'opération d'intersection, la propriété distributive est vérifiée. Il suffit de regarder l'exemple suivant :
- A (B U C) = (A U B) U (A U C)
En regardant ces propriétés, nous pouvons facilement voir comment elles sont exactement les mêmes que dans le cas de l'union d'événements.
Exemple d'intersection d'événements
Un exemple simple de l'union de deux événements A et B serait le suivant. Supposons le cas du lancer d'un dé parfait. Un dé à six faces numérotées de 1 à 6. De manière à ce que les événements soient définis ci-dessous :
À: Qu'il soit supérieur à 2. (3,4,5,6) en probabilité est 4/6 => P (A) = 0,67
C : Que cinq sortent. (5) en probabilité est 1/6 => P (C) = 0,17
Quelle est la probabilité de A C ?
P (A C) = P (A) + P (C) - P (A U C)
Puisque P (A) et P (C) l'ont déjà, nous allons calculer P (A U C)
A U C = (3,4,5,6) en probabilités P (A U C) = 4/6 = 0,67
Le résultat final est :
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,67 = 0,17 (17 %)
La probabilité qu'il en sorte supérieur à 2 et en même temps qu'il en sorte cinq est de 17 %.