Le test de White pour l'hétéroscédasticité consiste à renvoyer les carrés des résidus des moindres carrés ordinaires (MCO) sur les valeurs MCO ajustées et sur les carrés des valeurs ajustées.
En généralisant, les résidus quadratiques OLS sont renvoyés sur les variables explicatives. L'objectif principal de White est de tester les formes d'hétéroscédasticité qui invalident les erreurs-types OLS et leurs statistiques correspondantes.
Autrement dit, le test de White permet de vérifier la présence d'hétéroscédasticité (l'erreur, u, conditionnelle aux variables explicatives varie dans la population). Ce test unifie en une seule équation les carrés et les produits croisés de toutes les variables indépendantes de la régression. Compte tenu des hypothèses de Gauss-Markov, nous nous concentrons sur l'hypothèse d'homoscédasticité étant :
Var (u | x1,…, Xk) =2
Un exemple d'hétéroscédasticité serait que dans une équation de changement climatique, la variance des facteurs non observés qui affectent le changement climatique (facteurs qui sont dans l'erreur et E (u | x1,…, Xk) ≠ σ2 ) augmente avec les émissions de CO2 (Var (u | x1,…, Xk) ≠ σ2 ). En appliquant le test de White, nous testerions si Var (u | x1,…, Xk) ≠ σ2 (hétéroscédasticité) ou Var (u | x1,…, Xk) =2 (homoscédasticité). Dans ce cas, on rejetterait Var (u | x1,…, Xk) =2 car la variance de l'erreur augmente avec les émissions de CO2 et donc2 il n'est pas constant pour l'ensemble de la population.
Traiter
1. On part d'une régression linéaire multiple de population avec k = 2. On définit (k) comme le nombre de régresseurs.
Nous supposons la conformité de Gauss-Markov afin que l'estimation OLS soit non biaisée et cohérente. Nous nous concentrons en particulier sur :
- E (u | x1,…, Xk) = 0
- Var (u | x1,…, Xk) =2
2. L'hypothèse nulle est basée sur la réalisation de l'homoscédasticité.
H0: Var (u | x1,…, Xk) =2
Pour contraster le H0 (homoscédasticité) est testée si u2 il est lié à une ou plusieurs variables explicatives. De manière équivalente, le H0 peut être exprimé comme :
H0 : UE2 | X1,…, Xk) = E (u2 ) =2
3. On fait l'estimation OLS sur le modèle 1, où l'estimation de û2 est le carré de l'erreur du modèle 1. On construit l'équation û2 :
- Les variables indépendantes (xje).
- Les carrés des variables indépendantes (xje2).
- Les produits croisés (xje Xh je h).
- Nous substituons B0 et Bk par0 etk respectivement.
- Nous substituons u à v
Résultant en:
ou alors2 =0 +1X1 +2X2 +3X12 +4X22 +5X1 X2 + v
Cette erreur (v) a une moyenne nulle avec les variables indépendantes (xje ) .
4. Nous proposons les hypothèses de l'équation précédente :
5. Nous utilisons la statistique F pour calculer le niveau de signification conjoint de (x1,…, Xk).
On rappelle par (k) le nombre de régresseurs dans û2 .
6. Règle de rejet :
- Valeur p <Fk, n-k-1 : nous rejetons H0 = nous rejetons la présence d'homoscédasticité.
- Valeur p> Fk, n-k-1 : nous n'avons pas suffisamment de preuves significatives pour rejeter H0 = on ne rejette pas la présence d'homoscédasticité.