L'octogone est une figure géométrique composée de huit côtés. À son tour, il a huit sommets et huit angles internes.
C'est-à-dire que l'octogone est un polygone qui a huit côtés, il est donc plus complexe qu'un hexagone ou un heptagone.
Rappelons qu'un polygone est une figure à deux dimensions constituée d'un groupe de segments consécutifs (non colinéaires), qui forment un espace clos.
Éléments octogonaux
En prenant l'image du bas comme référence, les éléments de l'octogone sont les suivants :
- Sommets : A, B, C, D, E, F, G, H.
- Côtés: AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH et AH.
- Angles intérieurs : , , , , , , , . Ils totalisent jusqu'à 1080º.
- Diagonales : Il y en a 20 et ils commencent à 5 de chaque angle intérieur : AC, AD, AE, AF, AG, BD, BE, BF, BG, BH, CF, CG, CE, CH, DF, DG, DH, EG, EH , FH.
Types d'octogone
Selon leur régularité, on distingue deux types d'octogones :
- Irrégulier: Ses côtés (et ses angles internes) mesurent différemment.
- Ordinaire: Ses côtés mesurent la même chose, ainsi que ses angles intérieurs qui sont de 135º.
Périmètre et aire de l'octogone
Pour connaître les mesures d'un octogone, on peut calculer :
- Périmètre (P): Nous ajoutons les côtés du polygone. C'est-à-dire → P = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + AH. Lorsque le chiffre est régulier, il suffit de multiplier la longueur du côté (L) par 8 : P = 8xL
- Zone (A): On peut aussi distinguer deux cas. Lorsque la figure est irrégulière, elle peut être divisée en différents triangles (voir image ci-dessous). Si nous connaissons la longueur des diagonales tracées, nous pouvons trouver l'aire de chaque triangle (en suivant les étapes que nous avons expliquées dans l'article sur le triangle) et faire la sommation.
Si l'octogone est régulier, on multiplie le périmètre par l'apothème (a) et on divise par deux, comme on le voit dans la formule suivante.
L'apothème est la ligne qui va du centre d'un polygone régulier au milieu de l'un de ses côtés. L'intersection entre l'apothème et le côté du polygone forme un angle droit (mesurant 90º). Ensuite, il est possible d'exprimer l'apothème en fonction de la longueur du côté de la figure.
Tout d'abord, observons que l'angle au centre (α) dans l'octogone résulte de la division de 360º par 8. C'est-à-dire qu'il est égal à 45º. Ensuite, si nous regardons le triangle QHR, nous remarquons que c'est un triangle rectangle. Son hypoténuse est QH (Q est le milieu de la figure), et les jambes sont L/2 (la moitié de la longueur du côté) et l'apothème (a). De plus, α / 2 est de 22,5º (45/2). Or, on sait que la tangente (tan) de l'angle d'un triangle rectangle (en l'occurrence l'angle α/2) est égale à la branche opposée (L/2) entre la branche adjacente qui est l'apothème (a) et on le résoudre comme suit :
Ensuite, nous remplaçons à dans la formule de l'aire (A) :
Exemple d'octogone
Imaginons que nous ayons un octogone régulier avec un côté de 26 mètres. Quel est son périmètre et sa superficie ?
