Propriétés des valeurs attendues

La valeur attendue d'une variable aléatoire est le concept analogue à l'algèbre mathématique qui envisage la moyenne arithmétique de l'ensemble des observations de ladite variable.

En d'autres termes, la valeur attendue d'une variable aléatoire est la valeur qui apparaît le plus fréquemment lors de la répétition d'une expérience plusieurs fois.

Propriétés des valeurs attendues d'une variable aléatoire

La valeur attendue d'une variable aléatoire a trois propriétés que nous développons ci-dessous :

Propriété 1

Pour toute constante g, la valeur attendue de cette constante sera exprimée par E (g) et sera la même constante g. Mathématiquement:

E (g) = g

Puisque g est une constante, c'est-à-dire qu'il ne dépend d'aucune variable, sa valeur restera la même.

Exemple

Quelle est la valeur attendue de 1 ? Autrement dit, quelle valeur attribue-t-on au chiffre 1 ?

E (1) =?

Exactement, nous attribuons la valeur de 1 au nombre 1 et sa valeur ne changera pas, peu importe combien les années passent ou les catastrophes naturelles se produisent. On a donc affaire à une variable constante et donc :

E (1) = 1 ou E (g) = g

Ils peuvent essayer d'autres numéros.

Propriété 2

Pour toute constante h et k, la valeur attendue de la ligne h · X + k sera égale à la constante h multipliée par l'espérance de la variable aléatoire X plus la constante k. Mathématiquement:

E (h X + k) = h E (X) + k

Regardez bien, cela ne vous rappelle-t-il pas une hétéro très célèbre ? Exactement, la droite de régression.

Si nous remplaçons :

E (hX + k) = Y

E (X) = X

k = B₀

h = B₁

Avoir:

Y = B₀ + B₁X

Lorsque les coefficients B sont estimés₀ , B₁ , c'est-à-dire B₀ , B₁ , ceux-ci restent les mêmes pour l'ensemble de l'échantillon. Nous appliquons donc la propriété 1 :

E (B₀) = B₀

E (B₁) = B₁

Ici, nous trouvons également la propriété d'absence de biais, c'est-à-dire que la valeur attendue de l'estimateur est égale à sa valeur de population.

Pour revenir à E (h · X + k) = h · E (X) + k, il est important de garder à l'esprit que Y est E (h · X + k) lorsque l'on tire des conclusions à partir des droites de régression. En d'autres termes, cela reviendrait à dire que lorsque X augmente de un, Y augmente de moitié h unités, puisque Y est la valeur attendue de la ligne h · X + k.

Propriété 3

Si H est un vecteur de constantes et X est un vecteur de variables aléatoires, alors la valeur attendue peut être exprimée comme la somme des valeurs attendues.

H = (h₁ , h_2, , …, h_m)

X = (X₁ , X_2, ,…, X_m)

Hey₁X₁ + h₂X₂ +… + H_mX_m) = h₁·ANCIEN₁) + h₂·ANCIEN₂) +… + H_m·ANCIEN_m)

Exprimé avec des sommes :

Cette propriété est très utile pour les dérivations dans le domaine des statistiques mathématiques.