Le modèle de Vasicek est un modèle d'équilibre à un facteur sur les taux d'intérêt basé sur un processus géométrique brownien qui prend en compte la réversion moyenne et la structure temporelle des taux d'intérêt.
En d'autres termes, le modèle de Vasicek est utilisé pour prédire les taux d'intérêt à long terme en simulant les taux d'intérêt à court terme. De plus, il tient compte du fait que les taux d'intérêt sont différents selon les périodes (structure temporelle des taux d'intérêt).
Les modèles de taux d'intérêt d'équilibre utilisent des taux d'intérêt à court terme pour calculer les taux d'intérêt futurs en tenant compte de la structure par terme des taux d'intérêt.
Pour construire la courbe des taux, nous avons besoin des taux d'intérêt à court terme et des paramètres du modèle. Une fois que nous avons les taux d'intérêt à court terme et les paramètres, nous pouvons calculer les taux d'intérêt à long terme.
Ainsi, pour calculer les prix futurs des obligations à coupon zéro, nous avons besoin de taux d'intérêt à coupon zéro à court terme. De cette façon, nous pouvons également construire la courbe ou la structure temporelle des taux d'intérêt à coupon zéro. Une fois que nous aurons la courbe, nous déterminerons l'évolution des taux d'intérêt à long terme compte tenu des taux d'intérêt à court terme.
Formule modèle de Vasicek : Prix de l'obligation à coupon zéro.
Solution analytique pour trouver le prix d'une obligation à coupon zéro qui paie 1 € à l'échéance (T) dans n'importe quelle période de temps (t) et à un taux d'intérêt à court terme (r (t)).
Ne pas paniquer!
Nous avons juste besoin de :
- La période de temps pendant laquelle nous voulons connaître les taux d'intérêt, c'est-à-dire T.
- Le moment dans lequel nous sommes maintenant ou le moment de départ que nous voulons, c'est-à-dire t.
- La courbe des intérêts à court terme, c'est-à-dire r (T) ou rT . Si nous voulions exprimer les taux d'intérêt dans la période de départ, nous utiliserions r (T) ou rT.
- Dans ces formules, nous traiterons les paramètres a, b et s comme des constantes dans le temps.
- L'écart type, s.
Pour calculer le prix d'une obligation à coupon zéro qui paie 1 € à l'échéance (T) dans n'importe quelle période de temps (t) il suffit de donner des valeurs aux paramètres a, b et s et de simuler les taux d'intérêt à court terme (r (t )).
Représentation du modèle Vasicek : prix de l'obligation à coupon zéro
P (t, T) représente le prix de l'obligation de temps t à T.
Alors… Les prix des obligations seront-ils toujours ainsi ?
Pas du tout, comme nous l'avons dit au début, les taux d'intérêt dépendent d'un processus géométrique brownien, et implique donc la présence d'une composante aléatoire, N (0,1). Ainsi, chaque fois que nous calculons les formules ci-dessus, les taux à court terme changeront, de même que les taux d'intérêt à long terme, les prix des obligations et leur représentation.
Nous utiliserons les formules suivantes pour trouver r (T) et R (T).
Formule du modèle Vasicek : taux d'intérêt à court terme
Formule de taux d'intérêt à court terme (rT):
Formule de taux d'intérêt à long terme (RT):
Représentation du modèle Vasicek : courbe des taux d'intérêt
