La fonction exponentielle est la base de la composition continue, qui est le résultat de l'augmentation à l'infini (lorsque p tend vers l'infini) la fréquence du calcul d'intérêt dans une composition composée.
En d'autres termes, la fonction exponentielle est une composition composée où les périodes de temps entre les calculs d'intérêts sont infinitésimales (très petites).
La formule de la fonction exponentielle est :
La composition continue peut être exprimée comme
Des similitudes raisonnables entre la capitalisation continue et la fonction exponentielle, non ?
On définit les variables de capitalisation continue :
- Ct + 1: majuscule à l'instant t + 1 (plus tard).
- Ct: majuscule à l'instant t (courant).
- jet: taux d'intérêt à l'instant t.
- p : fréquence de composition ou périodicité.
- t : le temps.
Applications
En finance, on retrouve fréquemment la fonction exponentielle dans la formule de capitalisation continue des revenus futurs et dans certaines régressions économétriques.
En économie, ce n'est pas si populaire parce que la plupart des modèles microéconomiques et macroéconomiques supposent des rendements marginaux décroissants sur leurs facteurs de production. Par conséquent, ils supposent que les facteurs suivent des rendements logarithmiques et, par conséquent, des rendements contraires à la fonction exponentielle.
Exemple de fonction exponentielle
Nous supposons que nous sommes un investisseur américain qui souhaite construire une piste de ski à Pico Bolívar, au Venezuela. L'investissement initial est de 100 millions de dollars à un taux d'intérêt annuel de 100%. Cet investisseur dispose d'un pouvoir de négociation suffisant pour déterminer la périodicité du calcul des intérêts de son investissement.
Quelle alternative l'investisseur américain préférera-t-il ?
Pour répondre à la question, nous devrons calculer le capital à temps t + 1 (Ct + 1) que l'investisseur recevra.
Informations disponibles :
Ct: 100 MM $
jet: 100%
t : 1 (annuel)
Ct + 1: ?
| Alternative | À | B | C | ré | ET | F |
| Périodicité | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Nous substituons les informations que nous avons dans les deux formules (fonction exp. Et capitalisation continue)
Nous traitons les données en évitant les MM.
On divise (Ct + 1) pour 100 dans la fonction exponentielle pour éliminer l'effet du capital. De cette façon, nous avançons la virgule de deux places. Par conséquent, cet effet est visible dans les colonnes de résultats suivantes.
Résultats:
| Formule | Composition continue | Fonction exponentielle |
| Périodicité (p) ou (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Lorsque n ou p tendent vers l'infini, en l'occurrence à partir de 10 000 000, on peut voir que les valeurs convergent sur un nombre précis. Pour la composition continue, il est de 271.8281 et pour la fonction exponentielle, il est de 2.718281. Les deux séries convergent vers et.
Réponse à l'exercice résolue
Alors, quelle alternative l'investisseur américain finira-t-il par choisir, si à partir d'un certain nombre de périodicités le capital à t + 1 (Ct + 1) cale à une valeur particulière ?
- Si cet investisseur traite le capital comme une variable discrète, alors il choisira l'alternative D. Puisque de l'alternative C, le capital à t + 1 (Ct + 1) converge vers 271 millions de dollars.
- Si cet investisseur traite le capital comme une variable continue, alors il choisira l'alternative avec plus de périodicités. Dans ce cas, alternative F. Même si elle finit par converger sur une valeur, l'investisseur prend en compte toutes les décimales.
Cette convergence implique que le capital à t + 1 (Ct + 1), calculé à l'aide de la formule de composition continue ou de la fonction exponentielle, suit les rendements marginaux décroissants. En d'autres termes, (Ct + 1) peut être exprimé sous la forme d'une fonction logarithmique.
Schématiquement :
- Périodicité = fonction exponentielle.
- Capital à t + 1 (Ct + 1) = fonction logarithmique.
Représentation graphique
Dans le graphique, vous pouvez voir comment la fonction exponentielle, qui est infiniment continue, croît beaucoup plus rapidement que la capitalisation continue limitée. Quand on parle de capitalisation continue, on se réfère à une sorte de capitalisation composée mais avec une périodicité plus grande, car en pratique il est impossible de capitaliser les intérêts à l'infini. Je veux dire, nous ne pouvons pas capitaliser sur chaque seconde.