Dérivée d'une fonction exponentielle
La dérivée d'une fonction exponentielle est égale à la dérivée de l'exposant, multipliée par la fonction d'origine et par le logarithme népérien de la base.
Autrement dit, en termes mathématiques, nous aurions la formule suivante :
Dans la fonction ci-dessus, z est la base et y est une fonction de x, dont la dérivée peut être calculée comme expliqué dans notre article sur la dérivée d'une fonction.
Nous devons nous rappeler qu'une dérivée est une fonction mathématique qui nous permet de calculer le taux de variation d'une variable (dépendante). Ceci, lorsqu'une variation est enregistrée dans une autre variable (qui serait l'indépendante) qui l'affecte.
Cas de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle présente deux cas particuliers :
- Lorsque l'exposant est x, sa dérivée est 1. Par conséquent, la dérivée de la fonction exponentielle est égale à cette même fonction multipliée par le logarithme népérien de la base, comme nous le voyons ci-dessous :
- Lorsque la base est la constante e, son logarithme népérien est 1. Par conséquent, la dérivée de la fonction exponentielle serait égale à la dérivée de l'exposant multipliée par la fonction d'origine.
Exemples de dérivée d'une fonction exponentielle
Regardons quelques exemples de fonctions exponentielles élaborées :
Maintenant, un deuxième exemple un peu plus complexe :
Maintenant, regardons un exemple où l'exposant est une fonction trigonométrique :
