Type ou écart type

L'écart type ou écart type est une mesure qui fournit des informations sur la dispersion moyenne d'une variable. L'écart type est toujours supérieur ou égal à zéro.

Pour comprendre ce concept, nous devons analyser 2 concepts fondamentaux.

• Espérance mathématique, valeur attendue ou moyenne : C'est la moyenne de nos séries de données.
• Déviation: L'écart est la séparation qui existe entre n'importe quelle valeur de la série et la moyenne.

Maintenant, en comprenant ces deux concepts, l'écart type sera calculé de la même manière que la moyenne. Mais en prenant les écarts comme valeurs. Et bien que ce raisonnement soit intuitif et logique, il présente un défaut que nous allons vérifier avec le graphique suivant.

Dans l'image précédente nous avons 6 observations, soit N = 6. La moyenne des observations est représentée par la ligne noire située au centre du graphique et vaut 3. On entendra par écart, la différence qui existe entre n'importe quel des observations et de la ligne noire. Nous avons donc 6 écarts.

1. Déviation -> (2-3) = -1
2. Déviation -> (4-3) = 1
3. Déviation -> (2-3) = -1
4. Déviation -> (4-3) = 1
5. Déviation -> (2-3) = -1
6. Déviation -> (4-3) = 1

Comme on peut le voir si l'on additionne les 6 écarts et que l'on divise par N (6 observations), le résultat est nul. La logique serait que l'écart moyen soit de 1. Mais une caractéristique mathématique de la moyenne par rapport aux valeurs qui la composent est précisément que la somme des écarts est nulle. Comment réparons nous ça? La quadrature des écarts

Formules de calcul de l'écart type

La première consiste à mettre au carré les écarts, à diviser par le nombre total d'observations et enfin à prendre la racine carrée pour annuler le carré, de sorte que :

Sinon, il y aurait une autre façon de le calculer. Ce serait une moyenne de la somme des valeurs absolues des écarts. C'est-à-dire appliquer la formule suivante :

Cependant, cette formule n'est pas une alternative à l'écart type car elle donne des résultats différents. En fait, la formule ci-dessus est l'écart par rapport à la moyenne. L'écart-type ou l'écart-type et l'écart par rapport à la moyenne ont des similitudes mais ne sont pas les mêmes. Cette dernière forme est connue sous le nom d'écart moyen.

Exemple de calcul d'écart type

Nous allons vérifier comment, avec l'une des deux formules présentées, le résultat de l'écart type ou de l'écart moyen est le même.

Selon la formule de la variance (racine carrée) :

Selon la formule de la valeur absolue :

Tout comme le calcul intuitif le dictait. L'écart moyen est de 1. Mais n'avons-nous pas dit que la formule de la valeur absolue et de l'écart type donnaient des valeurs différentes ? Oui, mais il y a une exception. Le seul cas où l'écart type et l'écart à la moyenne donnent le même résultat est le cas où tous les écarts sont égaux à 1.

La relation entre l'écart type et la variance

En bref, la variance n'est rien de plus que l'écart-type au carré. Ou ce qui revient au même, l'écart type est la racine carrée de la variance. Ils sont liés comme suit :

Après cette image, il est clair que toute la formule qui se trouve dans la racine carrée est la variance. La raison pour laquelle vous devez comprendre que cette partie est connue sous le nom de variance est qu'elle est utilisée dans d'autres formules pour calculer d'autres mesures. Ainsi, bien que l'écart type soit plus intuitif pour interpréter les résultats, il est impératif de savoir comment la variance est calculée.