Taylor Series - Qu'est-ce que c'est, définition et concept

La série de Taylor est une série de puissances qui s'étend à l'infini, où chacun des additifs est élevé à une puissance supérieure à la précédente.

Chaque élément de la série de Taylor correspond à la dérivée n de la fonction f évaluée au point a, entre la factorielle de n (n !), et tout cela, multipliée par x-a élevée à la puissance n.

En termes formels ou mathématiques, la série de Taylor a la forme suivante :

Pour mieux comprendre la série de Taylor, il faut garder à l'esprit que a est un point sur une droite tangente à la fonction f. Ladite droite peut, à son tour, être exprimée comme une fonction linéaire dont la pente est la même pente que la fonction f au point a.

Un autre aspect à garder à l'esprit est que f est une fonction dérivable n fois au point a. Si n est l'infini, c'est une fonction infiniment dérivable.

Dans un cas particulier, lorsque a = 0, la série est également appelée série McLaurin.

Différence entre série et polynôme de Taylor

La différence entre série et polynôme de Taylor est que, dans le premier cas, on parle d'une suite infinie, alors que dans le second c'est une série finie.

Ainsi, le polynôme de Taylor peut être défini comme une approximation polynomiale d'une fonction n fois dérivable en un point spécifique (a).

Exemples de séries Taylor

Voici quelques exemples de variantes de la série Taylor :

• Fonction exponentielle:

• Fonctions trigonométriques:

Applications de la série Taylor

Certaines applications de la série de Taylor sont :

• Analyse des limites.
• Analyse des points stationnaires ou des points de chaise dans les fonctions.
• Application au théorème de L'Hôpital (résolution des limites).
• Estimation intégrale.
• Estimation des convergences et divergences de certaines séries.
• Analyse des actifs et produits financiers, lorsque le prix est exprimé comme une fonction non linéaire.