Algèbre des ensembles - Qu'est-ce que c'est, définition et concept

L'algèbre des ensembles est un domaine d'étude, au sein des mathématiques et de la logique, axé sur les opérations qui peuvent être effectuées entre les ensembles.

L'algèbre des ensembles fait partie de ce que nous appelons la théorie des ensembles.

Il ne faut pas oublier qu'un ensemble est le regroupement d'éléments de différentes sortes, tels que des lettres, des chiffres, des symboles, des fonctions, des figures géométriques, entre autres.

Définir les opérations

Les principales opérations avec les ensembles sont les suivantes :

• syndicat: L'union de deux ou plusieurs ensembles contient tous les éléments qui appartiennent à au moins un de ces ensembles. Il est indiqué par la lettre U.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

• Intersection: L'intersection de deux ensembles ou plus inclut les éléments que ces ensembles partagent. Il est indiqué par le U inversé (∩). Exemple:

A = (a, r, t, je, c, o)

B = (i, n, d, je, c, o)

A∩B = (i, c, o)

• Différence: La différence d'un ensemble par rapport à un autre est égale aux éléments du premier ensemble moins les éléments du second. Il est indiqué par le symbole ou -. Vu d'une autre manière, x a A B si x A, mais x B. Exemple :

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

• Complément: Le complément d'un ensemble comprend tous les éléments qui ne sont pas contenus dans cet ensemble (mais qui appartiennent à un autre ensemble universel de référence). Il est indiqué par l'exposant C. Exemple :

A = (3,9,12,15,18)

U (Univers) = Tous les multiples de 3 qui sont des entiers naturels inférieurs à 30.

À^C=(6,21,24,27)

• Différence symétrique : La différence symétrique de deux ensembles inclut tous les éléments qui sont dans l'un ou l'autre, mais pas les deux à la fois. C'est-à-dire que c'est l'union des ensembles moins leur intersection. Son symbole est Δ. Exemple:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

• Produit cartésien: C'est une opération qui aboutit à un nouvel ensemble, qui contient comme éléments les paires ordonnées ou les tuples (séries ordonnées) des éléments qui appartiennent à deux ou plusieurs ensembles. Ce sont des paires ordonnées s'il s'agit de deux ensembles et des tuples si nous avons plus de deux ensembles. Exemple:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Lois de l'algèbre des ensembles

Les lois de l'algèbre des ensembles sont les suivantes :

• Idempotence : L'union ou l'intersection d'un ensemble avec lui-même donne le même ensemble :

XUX = X

X∩X = X

• Commutatif : L'ordre des facteurs ne modifie pas le résultat lors de la recherche de l'union ou de l'intersection des ensembles :

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

• Distributif: L'union d'un ensemble X, avec l'intersection de deux autres ensembles Y et Z, est égale à l'intersection de l'union de X et Y, avec l'union de X et Z. Soit :

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

De plus, il en est de même si l'on inverse l'ordre des opérations :

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

• Associatif: Les termes d'une opération d'union ou d'intersection de plusieurs ensembles peuvent être regroupés indistinctement, en obtenant toujours le même résultat :

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

• La loi de Morgan : Le complément de l'union de deux ensembles est égal à l'intersection de leurs compléments, et le complément de l'intersection de deux ensembles est égal à l'union de leurs compléments.

(XUY)^C= X^CO^C

(X∩Y)^C= X^COui^C

• Loi de différence : La différence d'un ensemble par rapport à un autre est égale à l'intersection du premier avec le complément du second :

(X-Y) = X∩Y^C

• Compléter les lois :
  • L'union d'un ensemble avec son complémentaire n'égale pas l'ensemble universel. XUX^C= U
  • L'intersection d'un ensemble avec son complément est égale à l'ensemble nul ou vide. X∩X^C=∅
  • Le complément du complément d'un ensemble X est égal à l'ensemble X. (X^C)^C= X
  • Le complément de l'ensemble universel est égal à l'ensemble nul ou vide. X^C=∅
  • Le complément de l'ensemble vide est égal à l'ensemble universel. ∅^C= U

• Lois d'absorption :
  • XU (X∩Y) = X
  • X∩ (XUY) = X
  • XU (X^CY) = XUY
  • X∩ (X^CUY) = X∩Y