L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X est le nombre qui exprime la valeur moyenne du phénomène que cette variable représente.
L'espérance mathématique, également appelée valeur attendue, est égale à la somme des probabilités qu'un événement aléatoire existe, multipliée par la valeur de l'événement aléatoire. En d'autres termes, c'est la valeur moyenne d'un ensemble de données. Ceci, en tenant compte du fait que le terme espérance mathématique est inventé par la théorie des probabilités.
Alors qu'en mathématiques, la valeur moyenne d'un événement qui s'est produit s'appelle une moyenne mathématique. Dans les distributions discrètes avec la même probabilité dans chaque événement, la moyenne arithmétique est la même que l'espérance mathématique.
Exemple d'espérance mathématique
Voyons un exemple simple pour le comprendre.
Imaginons une pièce de monnaie. Deux têtes, têtes et queues. Quelle serait l'espérance mathématique (valeur attendue) qu'il sortira face ?
L'espérance mathématique serait calculée comme la probabilité qu'en lançant la pièce un très grand nombre de fois, elle se retrouve face.
Étant donné que la pièce ne peut atterrir que dans l'une de ces deux positions et que les deux ont la même probabilité de sortir, nous dirons que l'espérance mathématique qu'elle sortira face est de un sur deux, ou ce qui est la même chose, 50% de le temps.
Nous allons faire un test et nous allons lancer une pièce 10 fois. Supposons que la pièce soit parfaite.
Tours et résultat :
- Visage.
- Croix.
- Croix.
- Visage.
- Croix.
- Visage.
- Visage.
- Visage.
- Croix.
- Croix.
Combien de fois a-t-il été face (on compte les C) ? 5 fois Combien de fois les queues sont-elles sorties (on compte les X) ? 5 fois. La probabilité d'être face sera de 5/10 = 0,5 ou, en pourcentage, de 50 %.
Une fois que cet événement s'est produit, nous pouvons calculer la moyenne mathématique du nombre de fois où chaque événement s'est produit. Le côté cher est sorti une fois sur deux, c'est-à-dire 50 % du temps. La moyenne correspond à l'espérance mathématique.
Calcul de l'espérance mathématique
L'espérance mathématique est calculée en utilisant la probabilité de chaque événement. La formule qui formalise ce calcul s'énonce comme suit :
Où:
- X = valeur de l'événement.
- P = Probabilité de se produire.
- je = Période pendant laquelle cet événement se produit.
- N = Nombre total de périodes ou d'observations.
La probabilité qu'un événement se produise n'est pas toujours la même que pour les pièces de monnaie. Il existe d'innombrables cas dans lesquels un événement est plus susceptible de se produire qu'un autre. C'est pourquoi nous utilisons P. Dans la formule, nous devons également multiplier par la valeur de l'événement lors du calcul des nombres mathématiques. Ci-dessous, nous voyons un exemple.
A quoi sert l'espérance mathématique ?
L'espérance mathématique est utilisée dans toutes les disciplines dans lesquelles la présence d'événements probabilistes leur est inhérente. Des disciplines telles que les statistiques théoriques, la physique quantique, l'économétrie, la biologie ou les marchés financiers. Un grand nombre de processus et d'événements qui se produisent dans le monde sont inexacts. Un exemple clair et facile à comprendre est celui de la bourse.
En bourse, tout est calculé en fonction des valeurs attendues, pourquoi des valeurs attendues ? Parce que c'est ce que nous espérons qu'il se produira, mais nous ne pouvons pas le confirmer. Tout est basé sur des probabilités, pas sur des certitudes. Si la valeur attendue ou l'espérance mathématique du rendement d'un actif est de 10 % par an, cela signifie que, sur la base des informations dont nous disposons du passé, il est très probable que le rendement sera à nouveau de 10 %. Si nous ne prenons en compte, bien sûr, que l'espérance mathématique comme méthode pour prendre nos décisions d'investissement.
Dans les théories des marchés financiers, beaucoup utilisent ce concept d'espérance mathématique. Parmi ces théories figure celle que Markowitz a développée sur les portefeuilles efficaces.
En chiffres, en simplifiant beaucoup, supposons que les rendements d'un actif financier sont les suivants :
Rentabilité des années 1, 2, 3 et 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
La valeur attendue serait la somme des rendements multipliée par leur probabilité de se produire. La probabilité que chaque rentabilité « se produise » est de 0,25. Nous avons quatre observations, quatre ans. Chaque année, ils ont la même probabilité de se répéter.
Espoir = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25 %
En tenant compte de cette information, nous dirons que l'espérance de rendement sur l'actif est de 11,25%.
Durée de vie