Le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection des médianes de la figure. Il est également connu sous le nom de centroïde.
Il ne faut pas oublier que la médiane est le segment qui relie le sommet du triangle au milieu de son côté opposé. Ainsi, chaque triangle a trois médianes.
Par exemple, dans le triangle ci-dessus, le centre de gravité est le point O, les médianes étant les segments AF, BD et CE.
Une propriété importante du centre de gravité est que sa distance de chaque sommet est le double de la distance du côté opposé.
Pour mieux l'expliquer, deux parties peuvent être distinguées dans chaque médiane :
- La distance entre le sommet et le centre de gravité, qui correspond aux 2/3 de la longueur de la médiane
- Le 1/3 restant, qui est la distance entre le centre de gravité et le milieu du côté opposé.
Dans l'image ci-dessus, par exemple, il est vrai que :
Comment trouver le centre de gravité d'un triangle
Pour trouver le centre de gravité du triangle il faut tenir compte du fait que, connaissant les coordonnées des trois sommets du triangle, les coordonnées du centre de gravité correspondent à sa moyenne arithmétique. Donc, supposons que les sommets soient :
Alors, les coordonnées du centre de gravité, que nous appellerons O, seraient :
Maintenant, il est également possible de trouver le centre de gravité si nous avons les équations des droites qui contiennent au moins deux des médianes.
Rappelons qu'en géométrie analytique, une droite peut être exprimée comme une équation algébrique du premier ordre sous la forme :
y = xm + b
Dans l'équation illustrée, y est la coordonnée sur l'axe des ordonnées (vertical), x est la coordonnée sur l'axe des abscisses (horizontal), m est la pente (inclinaison) qui forme la ligne par rapport à l'axe des abscisses et b est le point où la ligne coupe l'axe des ordonnées.
Pour mieux comprendre ce qui précède, regardons un exemple.
Exemple de centre de gravité
Supposons que nous ayons un triangle dont nous connaissons deux de ses sommets :
A (0,4) et B (-2,1)
Maintenant, il est en outre connu que le milieu du côté opposé au sommet A est (3,1), et le milieu du côté opposé au sommet B est (4, 2,5). Il convient de préciser que nous utilisons le point-virgule pour ne pas être confondu avec la virgule qui sépare les décimales.
Nous allons d'abord trouver l'équation de la ligne qui contient la médiane qui part du sommet A, en tenant compte du fait que la pente lors du passage d'un point à un autre doit toujours être la même. La pente est la variation de l'axe vertical entre la variation de l'axe horizontal :
Ce que nous avons fait est de supposer que la droite passe par un point (x1, y1), qui est le sommet A (0, 4), et par le point (x2, y2) qui est le milieu de son côté opposé (3 , 1).
Ensuite, on fait de même avec le sommet B (-2,1) et le milieu de son côté opposé (-4, -2,5) :
Étape suivante, nous égalisons le côté droit des deux équations trouvées pour résoudre la valeur sur l'axe X lorsque les deux coïncident :
Ensuite, nous résolvons dans l'une des équations pour trouver la valeur de y :
Par conséquent, le centre de gravité du triangle est le point (2,2) dans le plan cartésien.
