L'inégalité de Chebyshev est un théorème utilisé en statistique qui fournit une estimation prudente (intervalle de confiance) de la probabilité qu'une variable aléatoire de variance finie soit à une certaine distance de son espérance mathématique ou de sa moyenne.
Son expression formelle est la suivante :
X = valeur estimée
µ = Espérance mathématique de la valeur estimée
Ϭ = Écart type de la valeur attendue
k = nombre d'écarts types
En partant de cette expression générale et en développant la partie qui reste dans la valeur absolue on aurait :
Si l'on fait attention à l'expression précédente, on voit que la partie à gauche n'est plus qu'un intervalle de confiance. Cela nous offre à la fois une limite inférieure et une limite supérieure pour la valeur estimée. Par conséquent, l'inégalité de Chebyshev nous indique la probabilité minimale que le paramètre de population se situe dans un certain nombre d'écarts types au-dessus ou en dessous de sa moyenne. Autrement dit, cela nous donne la probabilité que le paramètre de population se situe dans cet intervalle de confiance.
L'inégalité de Chebyshev fournit des limites approximatives pour la valeur estimée. Malgré un certain degré d'imprécision, c'est un théorème très utile car il peut être appliqué à un large éventail de variables aléatoires indépendamment de leurs distributions. La seule restriction pour pouvoir utiliser cette inégalité est que k doit être supérieur à 1 (k> 1).
Inégalité mathématiqueExemple d'application de l'inégalité de Chebyshev
Supposons que nous soyons gestionnaires d'un fonds d'investissement. Le portefeuille que nous gérons a un rendement moyen de 8,14 % et un écart type de 5,12 %. Pour savoir, par exemple, quel pourcentage de nos rendements sont à au moins 3 écarts types de notre rentabilité moyenne, nous appliquerions simplement la formule précédente de l'expression 2.
k = 1,96
Substitution de la valeur de k : 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%
Cela signifie que 73,9 % des résultats sont dans l'intervalle de confiance situé à 1,96 écart-type de la moyenne.
Faisons l'exemple précédent pour les valeurs autres que k.
k = 2,46
k = 3
Substitution de la valeur de k : 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%
Substitution de la valeur de k : 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%
Il y a 83,5% des données qui sont à une distance de 2,46 écarts-types de la moyenne et 88,9% qui sont à moins de 3 écarts-types de la moyenne.
En utilisant l'inégalité de Chebyshev, il est facile de déduire que plus la valeur de K est élevée (plus la déviation de la valeur estimée par rapport à sa moyenne est grande), plus la probabilité que la variable aléatoire se trouve dans l'intervalle borné est grande.
AplatissementThéorème central limiteInégalité