Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple

Le plus grand commun diviseur (GCF) et le plus petit commun multiple (LCM) sont deux valeurs qui peuvent être calculées à partir des diviseurs de deux nombres ou plus.

Bien que les deux soient calculés à partir des mêmes informations, le GCF et le LCM sont interprétés de manière très différente.

D'une part, le GCF est le plus grand nombre par lequel deux nombres ou plus peuvent être divisés. Ceci, sans laisser de résidus.

Au lieu de cela, le LCM est le plus petit chiffre qui satisfait la condition d'être un multiple de tous les éléments d'un ensemble de nombres.

Il est à noter qu'un nombre est multiple d'un autre lorsqu'il le contient exactement n fois. c'est-à-dire un nombre b est un multiple de à lorsque b=à*s, étant s un nombre entier.

Pour mieux comprendre la différence, nous pouvons utiliser un exemple avec les nombres suivants : 450, 765 et 135.

Tout d'abord, nous désagrégeons chaque figure en diviseurs. Ce sont ces nombres dans lesquels il est contenu dans un autre exactement un nombre n de fois.

450= (3^2)*(5^2)*2

765= (3^2)*5*17

135= (3^3)*5

Ainsi, pour calculer le GCF, nous prendrions les diviseurs communs à leur plus faible puissance :

GCF = (3 2) * 5 = 45

De même, pour le lcm nous prendrions tous les diviseurs, même ceux qui ne se répètent pas, en les élevant à leur puissance maximale :

lcm = (3 3) * (5 2) * 2 * 17 = 22 950

Relation entre GCF et LCM

Lorsque vous avez deux nombres, la formule suivante est vraie :

C'est-à-dire pour 4 368 et 308

4.368= (2^4)*13*7*3

308= (2^2)*11*7

Ainsi, le lcm serait : (2 2) * 7 = 28

Par conséquent, le GCF pourrait être résolu dans la formule:

PGCD = 4,368 * 308/28 = 48,048

Quelques propriétés

Certaines propriétés à considérer sont également:

• Si nous avons deux nombres premiers (qui ne peuvent être divisés que par eux-mêmes et un pour obtenir un nombre entier) le LCM est le total de leur multiplication. De même, son plus grand facteur commun est 1. Par exemple, si nous avons 11 et 103, son LCM est 1133 et son GCF est 1.
• Le plus grand commun diviseur de deux nombres ou plus est un diviseur du plus petit commun multiple de ces nombres. En effet, le calcul est effectué sur la base des mêmes facteurs. Par exemple, si nous avons 132, 336 et 1 314

132= (2^2)*3*11

336= (2^4)*3*7

1.314= (3^2)*73*2

Ensuite,

FGCF = 3 * 2 = 6

lcm = (2 4) * (3 2) * 7 * 11 * 73 = 809,424

Et on vérifie que le LCM est un multiple du GCF : 809,424 / 6 = 134,904