Une progression géométrique est une séquence infinie de nombres dans laquelle le rapport est constant tout au long de la séquence et peut être représenté par une fonction exponentielle.
En d'autres termes, une progression géométrique est une suite numérique et donc infinie, dans laquelle la variation entre deux nombres consécutifs quelconques sera toujours la même tout au long de la série et qui, une fois représentée, coïncide avec une fonction exponentielle.
Formule de progression géométrique
Une progression géométrique de la forme X1, X2, …, Xm ,
X1 = X1
X2 = X1 · raison
X3 = X2 · raison
…
Xn-1 = Xn-2 · raison
Xm = Xn-1 · raison
Ainsi, pour calculer le rapport d'une progression géométrique, il suffirait d'appliquer la formule suivante :
La raison sera toujours la même pour toute la progression. En d'autres termes, si nous calculons le rapport d'une paire de nombres et le rapport d'une paire de nombres différente et qu'il en résulte un rapport différent, cela signifie qu'à un moment donné, nous avons fait une erreur.
La paire de nombres choisie doit toujours être consécutive puisque le nombre suivant dépend du précédent multiplié par le rapport.
Exemple
Étant donné une progression géométrique de la forme X1, X2, …, X40 :
L'indice du X indique la position du nombre dans la séquence. Il y a donc 40 éléments dans cette progression.
La progression géométrique peut sembler plus difficile que la progression arithmétique, mais c'est essentiellement le même concept. Par conséquent, comme nous ne voyons pas la raison à première vue, nous allons recourir à des calculs :
X2 / X1 = 1,5 / 1 = 1,5 rapport
X3 / X2 = 2,25 / 1,5 = 1,5 rapport
X4 / X3 = 3,38 / 2,25 = 1,5 rapport
…
X39 / X38 = 4 914 369,92 / 3 276 246,61 = 1,5 ← rapport
X40 / X39 = 7 371 554,88 / 4 914 369,92 = rapport de 1,5 .
Bien que les chiffres augmentent, la raison sera toujours la même. Il est important de souligner qu'en multipliant simplement par 1,5 quarante fois, nous obtenons 7 371 554,88.
Représentation
Si nous rassemblons tous les nombres de la progression précédente dans un graphique et joignons tous les points, nous verrons que la fonction ressemble beaucoup à la fonction exponentielle.
Cette progression est donc monotone croissante car le rapport est supérieur à 0.
En comparant la progression arithmétique avec la progression géométrique, nous arrivons à la conclusion que pour obtenir des nombres plus élevés dans quelques éléments à l'intérieur de la progression, il vaut mieux multiplier les ratios (progression géométrique) que d'ajouter des ratios (progression arithmétique).
