L'orthocentre est l'intersection des trois hauteurs d'un triangle, que l'on peut trouver à l'intérieur ou à l'extérieur de la figure.
Il faut se rappeler que la hauteur d'un triangle est ce segment qui part de chaque sommet du triangle et s'étend vers son côté opposé, formant un angle droit ou 90º. C'est-à-dire que la hauteur et son côté respectif sont perpendiculaires.
Dans la figure ci-dessus, par exemple, le point O est l'orthocentre de la figure, les hauteurs du triangle étant CF, BE et AD.
Orthocentre selon le type de triangle
L'orthocentre, selon le type de triangle considéré, a des caractéristiques différentes :
- Triangle rectangle: L'orthocentre d'un triangle rectangle coïncide avec le sommet qui correspond à l'angle droit. Dans la figure ci-dessous, par exemple, les hauteurs sont BF et les segments triangulaires AB et BC eux-mêmes, l'orthocentre étant le sommet B.
Il convient également de mentionner que les hauteurs AB et BC sont les jambes, c'est-à-dire les côtés qui forment l'angle droit, tandis que AC est l'hypoténuse.
- Triangle obtus : L'orthocentre est à l'extérieur du triangle lorsqu'il est obtus, c'est-à-dire lorsqu'un des angles intérieurs de la figure est supérieur à 90º.
Dans l'image ci-dessous, par exemple, les hauteurs sont AH, CI et FB, nous cherchons donc le point d'intersection de leurs extensions, qui serait le point O.
- Triangle aigu: L'orthocentre est situé à l'intérieur de la figure lorsque le triangle est aigu, c'est-à-dire lorsque tous ses angles internes sont aigus ou inférieurs à 90º (voir la première image de cet article).
Triangle orthique
Le triangle orthique est celui dont les sommets sont les pieds des trois hauteurs du triangle. Comme on le voit sur la figure ci-dessous, le triangle orthique du triangle ABC est le triangle FGH.
Il est également vrai que l'orthocentre (point I) du triangle ABC est aussi le centre du cercle inscrit (contenu dans) le triangle orthique.
Comment trouver l'orthocentre d'un triangle
Supposons que nous ayons l'équation des droites qui contiennent deux des hauteurs d'un triangle qui sont les suivantes :
y = -137,7x-1941
y = 0,6x + 7
Donc, nous devons trouver à quelles valeurs de x et y les deux lignes coïncident. Nous résolvons d'abord pour x en égalant le côté droit de chaque équation :
-137,7x-1941 = 0,6x + 7
-138,3x = 1948
x = -14,0853
Ensuite, nous résolvons pour et dans l'une ou l'autre des deux équations :
y = (0,6x-14,0853) +7
y = -8.4512 + 7 = -1.4512
Par conséquent, les coordonnées de l'orthocentre dans le plan cartésien sont (-14.0853, 1.4512)
