Combinatoire avec répétition

Les combinatoires avec répétition sont les différents ensembles que l'on peut former avec « n » éléments, choisis de x dans x, permettant de les répéter. Chaque ensemble doit différer du précédent par au moins un de ses éléments (l'ordre n'a pas d'importance).

La combinatoire avec répétition est couramment utilisée en statistique et en mathématiques. Il s'adapte à de nombreuses situations de la vie réelle et est relativement simple à appliquer.

Imaginons que nous soyons dans une cave qui compte 7 cépages. Nous voulons choisir 3 de ses variétés, pouvoir choisir entre rouge, rosé, blanc, spécial rouge, spécial rosé, spécial blanc et fruité. Étant donné que les événements ne s'excluent pas mutuellement, dans notre sélection, nous pouvons répéter n'importe lequel des éléments. Ceci étant le cas et en donnant quelques exemples, nous pouvons choisir le rouge, le rouge et le rose spécial ou le rose, le rose et le rouge ou le blanc, le blanc et le rose.

Par conséquent, la combinatoire avec répétition nous dit comment former ou grouper une quantité finie de données/observations, en groupes d'une quantité déterminée, pouvant répéter certains de ses éléments. C'est la principale différence entre combinatoire avec répétition (les éléments peuvent être répétés dans chaque sélection) et combinatoire sans répétition (aucun élément ne peut être répété dans chaque sélection)

Comment calculer la combinatoire avec répétition ?

La formule de calcul de la combinatoire avec répétition est la suivante :

n = Total des observations
x = nombre d'éléments sélectionnés

Exemple combinatoire avec répétition

Imaginons que nous sommes dans une boulangerie avec une sélection de 10 gâteaux différents. Nous voulons faire une sélection de 6 gâteaux, combien de combinaisons avec différentes répétitions pourrions-nous former ?

Tout d'abord, nous identifions les éléments totaux, qui dans ce cas sont 10 gâteaux. Nous avons donc déjà notre n (n = 10). Puisque nous voulons sélectionner 6 gâteaux sur 10 possibles, notre x va être 6 (x = 6). Sachant cela, nous n'avons qu'à appliquer la formule.

Pour calculer le numérateur nous aurions à calculer la factorielle de 15, qui serait 15 * 14 * 13… * 1 et au dénominateur nous aurions la factorielle de 6 (6 * 5 * 4… * 1) multipliée par la factorielle de 9 (9 * 8 * 7 *… 1).

Notre résultat serait :

1.307.674.368.000,00/720*362.880 = 5.005

Nous pouvons voir que bien que les variétés parmi lesquelles nous pouvons choisir ne soient pas très élevées, en pouvant répéter les éléments, les combinaisons qui peuvent être données sont énormes.