Le paradoxe de Condorcet indique que les préférences de vote collectives ne répondent pas à l'hypothèse de transitivité, contrairement aux préférences individuelles.
Le paradoxe de Condorcet doit son nom à son auteur, Nicolás Condorcet (1943-1974). Condorcet, plus connu sous le nom de marquis de Condorcet, s'est consacré à l'étude, entre autres, des probabilités et des méthodes de choix.
Ainsi, dans l'un de ses essais publiés vers 1785, il s'est rendu compte qu'il y avait une possibilité que les collectifs se contredisent. Autrement dit, compte tenu des préférences individuelles de vote, les intentions étaient claires, mais lorsqu'un vote collectif était donné, il y avait un paradoxe.
L'hypothèse de transitivité
L'hypothèse de transitivité énonce ce qui suit :
Étant donné trois alternatives (A, B et C), nous dirons que l'hypothèse de transitivité est satisfaite si les résultats suivants sont donnés :
- A est meilleur que B
- B vaut mieux que C
On peut alors dire, par l'hypothèse de transitivité, que A est meilleur que C.
Si cet ordre de préférence n'est pas rempli, alors nous ne pouvons pas indiquer qu'il y a transitivité. Ainsi, il peut arriver que A soit préféré à B et B à C, mais pas A à C. Par exemple :
- A = beignets
- B = Hamburger
- C = Chocolat
Je préfère manger des beignets (A) que des hamburgers (B). De plus, je préfère manger des hamburgers (B) que du chocolat (C). Mais, si vous me donnez le choix entre le beignet (A) et le chocolat (C), je préfère le chocolat (C).
C'est un cas en apparence paradoxal, mais cela pourrait arriver.
Exemple du paradoxe de Condorcet
Voyons, le cas d'un vote dans lequel il y a trois options : A, B et C. Les options sont ordonnées de gauche à droite par ordre de préférence. De sorte que:
- José = A> B> C
- Paula = C> A> B
- Marie = B> C> A
| nom | Option 1 | Option 2 | Option 3 |
| Joseph | À | B | C |
| Paula | C | À | B |
| Marie | B | C | À |
Avec ce tableau, comparant les options deux à deux, nous pourrions arriver aux conclusions suivantes :
- A contre B : Si l'on compare A contre B, on voit que A devance B deux fois (José et Paula) et B une seule fois contre A (Maria). Ainsi, nous dirions que l'option A est préférée à B.
- A contre C : Étant donné que A est préféré à B, nous allons vérifier ce qui se passe lorsque nous le comparons à C. C est deux fois devant A (Paula et María) et A une seule fois par rapport à C (José). Par conséquent, C serait l'option gagnante.
Nous allons maintenant changer l'ordre de vote :
- A contre C : Comme nous l'avons déjà vu, C.
- C contre B : Puisque C est préféré à A, nous allons vérifier ce qui se passe lorsque nous le comparons à B. B est deux fois devant C (José et María) et B une seule fois par rapport à C (Paula). Par conséquent, B serait le gagnant.
Nous allons modifier la commande une fois de plus :
- C contre B : Comme nous l'avons déjà vu, B.
- A contre B : Puisque B est préféré à C, nous allons vérifier ce qui se passe lorsque nous le comparons à A. Nous voyons que A est en avance sur B deux fois (José et Paula) et B une seule fois par rapport à A (María). Nous dirions donc que l'option A est l'option gagnante.
Dans cet exemple, nous avons pu vérifier que selon l'ordre des votes deux à deux, le vainqueur peut être A, B ou C. C'est ce qu'on appelle le paradoxe de Condorcet. Les individus sont très clairs sur leurs préférences, mais collectivement, les résultats sont confus.
