La forme quadratique matricielle est le produit de la multiplication d'un vecteur d'ordre n avec n'importe quelle matrice carrée par le vecteur d'ordre n transposé.
En d'autres termes, la forme quadratique de la matrice est une combinaison linéaire d'une matrice carrée, d'un vecteur d'ordre n et de la transposée de ce vecteur.
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Formule de forme quadratique matricielle
Étant donné une matrice carrée Z d'ordre n et un vecteur h de n dimensions, on peut écrire l'expression dite forme quadratique de la forme :
Le résultat de la forme quadratique sera toujours un scalaire, c'est-à-dire un nombre unique, pas une matrice.
Applications
La forme quadratique matricielle est utilisée pour trouver le degré de positivité et de négativité des matrices définies. Selon les valeurs du vecteur h, la valeur de la forme quadratique sera zéro (0), positive ou négative.
Une fois que nous avons obtenu la forme quadratique, nous pouvons dire que nous avons "défini" la matrice. On peut donc parler d'une matrice définie. Cette matrice peut être définie positive, semi-définie positive, définie négative et semi-définie négative.
Exemple pratique
Trouver la forme quadratique de la matrice carrée Z étant donné un vecteur h :
Traiter
On transpose d'abord le vecteur h.
Ensuite, nous appliquons la formule de la forme quadratique.
Comme nous l'avons dit précédemment, le résultat de la forme quadratique sera toujours un nombre unique. Dans ce cas, il s'agit d'un nombre strictement positif.
Mais… Comment se fait-il que le résultat soit un nombre concret et non une matrice si on multiplie des matrices ?
La réduction de la dimension de la matrice par multiplication se produit parce que nous multiplions des matrices qui partagent le même nombre de colonnes et de lignes.
Manifestation:
Du produit matriciel Z et du vecteur transposé h il reste un vecteur de dimension 3 × 1. De même, le produit du vecteur résultat et du vecteur h reste une matrice de dimension 1 × 1. Une matrice de dimension 1 × 1 est un scalaire.
Ainsi, si nous calculons la forme quadratique d'une matrice et obtenons une matrice de dimension supérieure à 1 × 1 (nous obtenons un autre résultat qu'un nombre spécifique), cela signifiera que nous avons fait une erreur à une étape et que le le résultat est faux.
