Une combinaison linéaire de vecteurs se produit lorsqu'un vecteur peut être exprimé en fonction linéaire d'autres vecteurs linéairement indépendants.
En d'autres termes, la combinaison linéaire de vecteurs est qu'un vecteur peut être exprimé comme une combinaison linéaire d'autres vecteurs linéairement indépendants les uns des autres.
Exigences pour la combinaison linéaire de vecteurs
La combinaison linéaire de vecteurs doit répondre à deux exigences :
- Qu'un vecteur peut être exprimé comme une combinaison linéaire d'autres vecteurs.
- Soit ces autres vecteurs linéairement indépendants les uns des autres.
Combinaison linéaire en calcul
En mathématiques de base, nous sommes habitués à voir fréquemment des combinaisons linéaires sans nous en rendre compte. Par exemple, une ligne est une combinaison d'une variable par rapport à l'autre, telle que :
Mais les racines, les logarithmes, les fonctions exponentielles… ne sont plus des combinaisons linéaires puisque les proportions ne restent pas constantes pour toute la fonction :
Donc, si nous parlons de combinaison linéaire de vecteurs, la structure de l'équation aura la forme suivante :
Comme nous parlons de vecteurs et que l'équation précédente fait référence à des variables, pour construire la combinaison de vecteurs, nous n'avons qu'à remplacer les variables par des vecteurs. Soit les vecteurs suivants :
Ainsi, nous pouvons les écrire sous forme de combinaison linéaire comme suit :
Les vecteurs étant linéairement indépendants les uns des autres.
lettre grecque lambda agit comme le paramètre m dans l'équation générale de la droite. Lambda sera n'importe quel nombre réel et, s'il n'apparaît pas, sa valeur est dite égale à 1.
Le fait que les vecteurs soient linéairement indépendants signifie qu'aucun des vecteurs ne peut être exprimé comme une combinaison linéaire des autres. On sait que les vecteurs indépendants forment une base de l'espace et que le vecteur dépendant appartient également à cet espace.
Exemple de parallélépipède
Nous supposons que nous avons trois vecteurs et nous voulons les exprimer comme une combinaison linéaire. On sait aussi que chaque vecteur provient du même sommet et constitue l'abscisse de ce sommet. La figure géométrique est un parallélépipède. Puisqu'ils nous informent que la figure géométrique que forment ces vecteurs sont l'abscisse d'un parallélépipède, alors, les vecteurs délimitent les faces de la figure.
Premièrement, nous devons savoir si les vecteurs sont linéairement dépendants. Si les vecteurs sont linéairement dépendants, alors nous ne pouvons pas former une combinaison linéaire à partir d'eux.
Trois vecteurs :
Comment savoir si les vecteurs sont linéairement dépendants s'ils ne nous renseignent pas sur leurs coordonnées ?
Eh bien, en utilisant la logique. Si les vecteurs étaient linéairement dépendants, alors toutes les faces du parallélépipède s'effondreraient. En d'autres termes, ils seraient les mêmes.
On peut donc exprimer un nouveau vecteur w par suite de la combinaison linéaire des vecteurs précédents :
Vecteur qui représente la combinaison des vecteurs précédents :
Graphiquement:
