La différence entre concave et convexe peut s'expliquer comme suit → Le terme convexe fait référence au fait qu'une surface a une courbure vers l'intérieur, alors que si elle était concave, la courbure serait vers l'extérieur.
Ainsi, nous pouvons le décrire d'une autre manière. La partie centrale d'une surface convexe est plus enfoncée ou enfoncée. En revanche, si elle était concave, cette partie centrale montrerait une proéminence.
Pour mieux le comprendre, nous pouvons citer quelques exemples. Tout d'abord, le cas classique d'une sphère, dont la surface est convexe. Cependant, si on la coupait en deux et qu'on gardait la moitié inférieure, on aurait un objet convexe, avec un affaissement (en supposant que l'intérieur de la sphère soit vide).
Un autre exemple de concave serait une montagne, car il s'agit d'une proéminence par rapport à la surface de la terre. Au contraire, un puits est concave, car y pénétrer implique de s'enfoncer, sous le niveau de la surface terrestre.
Il convient également de noter que pour définir un objet comme une perspective concave ou convexe doit également être pris en compte. Ainsi, une assiette creuse, par exemple, lorsqu'elle est prête à servir, est bombée, elle présente un affaissement. Cependant, si nous la retournons, la plaque sera concave.
Si l'on analyse les paraboles, par exemple, elles sont convexes si elles ont une forme en U, mais concaves si elles ont une forme en U inversé.
Fonctions concaves et convexes
Si la dérivée seconde d'une fonction est inférieure à zéro en un point, alors la fonction est concave en ce point. En revanche, s'il est supérieur à zéro, il est convexe en ce point. Ce qui précède peut être exprimé comme suit :
Si f »(x) <0, f (x), il est concave.
Si f »(x)> 0, f (x) il est convexe.
Par exemple, dans l'équation f (x) = x2+ 5x-6, on peut calculer sa dérivée première :
f'(x) = 2x + 5
On trouve alors la dérivée seconde :
f »(x) = 2
Par conséquent, puisque f »(x) est supérieur à 0, la fonction est convexe pour chaque valeur de x, comme on le voit dans le graphique ci-dessous :
Voyons maintenant le cas de cette autre fonction : f (x) = - 4x2+ 7x + 9.
f'(x) = - 8x + 7
f »(x) = - 8
Par conséquent, puisque la dérivée seconde est inférieure à 0, la fonction est concave pour chaque valeur de x.
Mais regardons maintenant l'équation suivante : -5 x3+ 7x2+5x-4
f'(x) = - 15x2+ 14x + 5
f »(x) = - 30x + 14
Nous fixons la dérivée seconde égale à zéro :
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Ainsi, lorsque x est supérieur à 0,4667, f »(x) est supérieur à zéro, donc la fonction est convexe. Alors que si x est inférieur à 0,4667, la fonction est concave, comme on le voit dans le graphique ci-dessous :
Polygone convexe et concave
Un polygone convexe est un polygone où deux de ses points peuvent être joints, traçant une ligne droite qui reste à l'intérieur de la figure. De même, ses angles intérieurs sont tous inférieurs à 180º.
Par contre, un polygone concave est un polygone où, pour joindre deux de ses points, il faut tracer une droite extérieure à la figure, c'est-à-dire une diagonale extérieure qui joint deux sommets. De plus, au moins un de ses angles intérieurs est supérieur à 180º.
Nous pouvons voir une comparaison dans l'image ci-dessous:
