Le kurtosis est une mesure statistique qui détermine le degré de concentration que les valeurs d'une variable présentent autour de la zone centrale de la distribution de fréquence. Il est également connu comme une mesure de ciblage.
Lorsque l'on mesure une variable aléatoire, en général, les résultats avec la fréquence la plus élevée sont ceux autour de la moyenne de la distribution. Imaginons la taille des élèves d'une classe. Si la taille moyenne de la classe est de 1,72 cm, le plus normal est que les tailles du reste des élèves se situent autour de cette valeur (avec un certain degré de variabilité, mais sans être trop grande). Si cela se produit, la distribution de la variable aléatoire est considérée comme étant normalement distribuée. Mais étant donné l'infinité de variables mesurables, ce n'est pas toujours le cas.
Il existe certaines variables qui présentent un degré plus élevé de concentration (moins de dispersion) des valeurs autour de leur moyenne et d'autres, au contraire, présentent un degré plus faible de concentration (plus grande dispersion) de leurs valeurs autour de leur valeur centrale. Par conséquent, l'aplatissement nous informe sur la façon dont une distribution est pointue (concentration plus élevée) ou aplatie (concentration plus faible).
Mesures de tendance centraleFréquence cumulativeTypes d'aplatissement
Selon le degré d'aplatissement, nous avons trois types de distributions :
1. Leptokurtique : Il y a une grande concentration de valeurs autour de leur moyenne (g2>3)
2. Mésocurtique : Il existe une concentration normale des valeurs autour de leur moyenne (g2=3).
3. Platicúrtica : Il y a une faible concentration des valeurs autour de leur moyenne (g2<3).
Mesures d'aplatissement selon les données
Selon le regroupement ou non des données, une formule ou une autre est utilisée.
Données non groupées :
Données regroupées dans des tableaux de fréquences :
Données regroupées par intervalles :
Exemple de calcul d'aplatissement pour des données non groupées
Supposons que nous voulions calculer le kurtosis de la distribution suivante :
8,5,9,10,12,7,2,6,8,9,10,7,7.
Nous calculons d'abord la moyenne arithmétique (µ), qui serait de 7,69.
Ensuite, nous calculons l'écart type, qui serait de 2,43.
Après avoir obtenu ces données et pour plus de commodité dans le calcul, un tableau peut être réalisé pour calculer la partie du numérateur (quatrième moment de la distribution). Pour le premier calcul ce serait : (Xi-µ) 4 = (8-7,69) 4 = 0,009.
| Données | (Xi-µ) 4 |
|---|---|
| 8 | 0,0090 |
| 5 | 52,5411 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 12 | 344,3330 |
| 7 | 0,2297 |
| 2 | 1049,9134 |
| 6 | 8,2020 |
| 8 | 0,0090 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 7 | 0,2297 |
| 7 | 0,2297 |
| N = 13 | ∑ = 1.518,27 |
Une fois ce tableau réalisé, il nous suffirait d'appliquer la formule précédemment exposée pour avoir le kurtosis.
g2 = 1.518,27/13*(2,43)^4 = 3,34
Dans ce cas depuis g2 est supérieur à 3, la distribution serait leptokurtique, présentant un pointage plus important que la distribution normale.
Excès d'aplatissement
Dans certains manuels, l'aplatissement est présenté comme un excès d'aplatissement. Dans ce cas, elle est directement comparée à celle de la distribution normale. Puisque la distribution normale a un aplatissement de 3, pour obtenir l'excès, nous n'aurions qu'à soustraire 3 de notre résultat.
Excès d'aplatissement = g2-3 = 3,34-3 = 0,34.
L'interprétation du résultat dans ce cas serait la suivante :
g2-3> 0 -> distribution leptokurtique.
g2-3 = 0 -> distribution mésocortique (ou normale).
g2-3 distribution platicúrtic.
Statistiques descriptives